Isométries et applications expansives sur un compact

Résolution.

1. Considérons l'espace $A \times A$. Comme $A$ est compact, $A \times A$ est également compact (produit de deux compacts). La suite $(a_n, b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $A \times A$ admet donc une sous-suite convergente. Notons-la $(a_{\phi(n)}, b_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$, où $\phi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est strictement croissante. Toute suite convergente étant de Cauchy, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $n < p$ tels que :
   $$d(a_{\phi(n)}, a_{\phi(p)}) < \varepsilon   \text{et}   d(b_{\phi(n)}, b_{\phi(p)}) < \varepsilon$$
   Posons $k = \phi(p) - \phi(n)$. Puisque $\phi$ est strictement croissante, $k \in \mathbb{N}^*$. Par hypothèse, $f$ augmente les distances, donc par une récurrence immédiate :
   $$\forall x, y \in A, \forall m \in \mathbb{N},   d(f^m(x), f^m(y)) \geqslant d(x, y)$$
   En appliquant ceci à $m = \phi(n)$, on obtient :
   $$d(a, a_k) \leqslant d(f^{\phi(n)}(a), f^{\phi(n)}(a_k)) = d(a_{\phi(n)}, a_{\phi(n)+k}) = d(a_{\phi(n)}, a_{\phi(p)}) < \varepsilon$$
   De même, on montre que $d(b, b_k) < \varepsilon$. On a donc bien :
   $$\boxed{\exists k \in \mathbb{N}^*,   d(a, a_k) < \varepsilon \text{ et } d(b, b_k) < \varepsilon}$$

2. Soient $a, b \in A$. D'après la question précédente, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $k \ge 1$ tel que $d(a, a_k) < \varepsilon$ et $d(b, b_k) < \varepsilon$. Comme $k \ge 1$, on peut écrire $f^k = f^{k-1} \circ f$. Par le caractère expansif de $f$ répété $k-1$ fois :
   $$d(f(a), f(b)) \leqslant d(f^{k-1}(f(a)), f^{k-1}(f(b))) = d(a_k, b_k)$$
   Par l'inégalité triangulaire :
   $$d(a_k, b_k) \leqslant d(a_k, a) + d(a, b) + d(b, b_k) < \varepsilon + d(a, b) + \varepsilon$$
   On en déduit que pour tout $\varepsilon > 0$, $d(f(a), f(b)) < d(a, b) + 2\varepsilon$. En faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$, il vient :
   $$d(f(a), f(b)) \leqslant d(a, b)$$
   Comme on a déjà l'inégalité inverse par hypothèse, on conclut :
   $$\boxed{\forall (a, b) \in A^2,   d(f(a), f(b)) = d(a, b)}$$

3. Montrons que $f(A) = A$. D'après la question 1, pour tout $a \in A$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe $k \ge 1$ tel que $d(a, f^k(a)) < \varepsilon$. Or $f^k(a) = f(f^{k-1}(a)) \in f(A)$. Donc tout point de $A$ est adhérent à $f(A)$. L'application $f$ est une isométrie, elle est donc continue. L'image $f(A)$ d'un compact par une application continue est un compact. Dans un espace métrique, un compact est fermé. On a donc $f(A)$ fermé et dense dans $A$. Ainsi :
   $$\boxed{f(A) = A}$$