Itération de l'opérateur de primitive

Résolution.

1. Nous allons démontrer la formule par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$. Initialisation : Pour $n=1$, par définition de l'opérateur $\Phi$ :
   $$\Phi^1(f)(x) = \int_0^x f(t)   dt = \int_0^x \frac{(x-t)^0}{0!} f(t)   dt$$
   La propriété est donc vérifiée au rang $n=1$.

   Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un certain entier $n \geqslant 1$. On a $\Phi^{n+1}(f) = \Phi^n(\Phi(f))$. En appliquant l'hypothèse de récurrence à la fonction $g = \Phi(f)$ (qui est bien continue), on obtient :

   $$\Phi^{n+1}(f)(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} g(t)   dt = \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} \Phi(f)(t)   dt$$

   Effectuons une intégration par parties sur cette intégrale. Posons :

   $$\begin{cases} u(t) = \Phi(f)(t) & \implies u'(t) = f(t)$$
   v'(t) = \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} & \implies v(t) = -\frac{(x-t)^n}{n!} \end{cases}
   Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathscr{C}^1$ sur $[0, x]$. On obtient :
   $$\Phi^{n+1}(f)(x) = \left[ - \Phi(f)(t) \frac{(x-t)^n}{n!} \right]_0^x + \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f(t)   dt$$

   Or, $\Phi(f)(0) = \int_0^0 f = 0$ et le terme $(x-x)^n$ est nul car $n \geqslant 1$. Le crochet s'annule donc. Ainsi :

   $$\boxed{ \Phi^{n+1}(f)(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f(t)   dt }$$
   La propriété est démontrée par récurrence.

2. Étude de la convergence : Puisque $f$ est continue sur le segment $[0, 1]$, elle est bornée. Notons $M = \|f\|_\infty = \sup_{t \in [0, 1]} |f(t)|$. Pour tout $x \in [0, 1]$ :
   $$|\Phi^n(f)(x)| \leqslant \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} |f(t)|   dt \leqslant M \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}   dt$$
   Le calcul de l'intégrale donne :
   $$\int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}   dt = \left[ -\frac{(x-t)^n}{n!} \right]_0^x = \frac{x^n}{n!}$$
   D'où, pour tout $x \in [0, 1]$ :
   $$|\Phi^n(f)(x)| \leqslant M \frac{x^n}{n!} \leqslant \frac{M}{n!}$$

   On en déduit que :

   $$\|\Phi^n(f)\|_\infty \leqslant \frac{M}{n!}$$
   Comme la série numérique $\sum \frac{M}{n!}$ converge (série exponentielle), la série de fonctions $\sum \Phi^n(f)$ converge normalement, donc uniformément sur $[0, 1]$.

   Calcul de la somme : Fixons $x \in [0, 1]$. On souhaite calculer $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \Phi^n(f)(x)$. D'après la question 1 :

   $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f(t)   dt$$

   Considérons la suite de fonctions $h_n : t \mapsto \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f(t)$ sur $[0, x]$. On a $\|h_n\|_\infty \leqslant \frac{M}{(n-1)!}$, donc la série de fonctions $\sum h_n$ converge normalement sur $[0, x]$. Par le théorème d'interversion série-intégrale :

   $$S(x) = \int_0^x \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} \right) f(t)   dt$$

   On reconnaît le développement en série entière de l'exponentielle :

   $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(x-t)^k}{k!} = \exp(x-t)$$

   Finalement :

   $$\boxed{ \sum_{n=1}^{+\infty} \Phi^n(f)(x) = \int_0^x e^{x-t} f(t)   dt }$$