Extrapolation de Richardson et dérivées numériques

Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur un intervalle ouvert $I$ de $\mathbb{R}$ et $x \in I$ .

En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$ pour $f(x+h)$ et $f(x-h)$ , déterminer les limites quand $h \to 0$ des expressions suivantes : $\Delta_1(h) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \text{et} \Delta_2(h) = \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$
On souhaite approcher numériquement $f'(x)$ $f^{'} (x)$ .
1. Pourquoi l'utilisation directe de la définition du nombre dérivé ou de la formule de $\Delta_1(h)$ avec un $h$ "excessivement" petit pose-t-elle des problèmes en pratique sur machine ?
2. On pose $T(h) = \Delta_1(h)$ . Donner le développement de $T(h)$ en puissances de $h$ à l'aide de la formule de Taylor à l'ordre $n \geq 2$ . On fera apparaître le terme d'erreur sous forme intégrale.
Pour améliorer la précision, on définit par récurrence les quantités $T_m^i(h)$ $T_{m}^{i} (h)$ par :
$T_0^i(h) = T\left(\frac{h}{2^i}\right) \text{et} T_m^i(h) = \frac{4^m T_{m-1}^{i+1}(h) - T_{m-1}^i(h)}{4^m - 1}$
1. Exprimer $T_1^1(h)$ en fonction de $f'(x)$ et des dérivées successives de $f$ . Quel est l'ordre de l'erreur par rapport à $h$ ?
2. On considère $f(x) = -\text{cotan}(x)$ . Pour $x = 0,04$ et $h = 0,0128$ , calculer les premières valeurs du tableau des $T_m^i(h)$ (pour $m \leq 3$ et $i \leq 5$ ). Comparer la précision obtenue avec la valeur théorique $f'(0,04)$ .

1.

Pour la question 1, effectuer le changement de variable $t = x + uh$ dans l'intégrale du reste de Taylor pour faire apparaître un terme en $h^{n+1}$ .

2.

Pour la question 2(a), penser au phénomène de "perte de précision par soustraction de quantités proches".

3.

Pour la question 3(a), utiliser le développement de $T(h)$ obtenu en 2(b). Remarquer que $T(h)$ est une fonction impaire de $f$ (ou plutôt que son développement ne contient que des puissances paires de $h$ ).

Idées clés

•

Formule de Taylor avec reste intégral.

•

Élimination des termes d'erreur par combinaison linéaire (méthode de Richardson).

•

Analyse de la parité des développements limités pour les différences symétriques.

Résolution.

La formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$ $n$ en $x$ $x$ s'écrit :
$f(x+h) = \sum_{k=0}^n \frac{h^k}{k!} f^{(k)}(x) + \int_x^{x+h} \frac{(x+h-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt$
En effectuant le changement de variable $t = x + uh$ , on obtient :
$f(x+h) = \sum_{k=0}^n \frac{h^k}{k!} f^{(k)}(x) + \frac{h^{n+1}}{n!} \int_0^1 (1-u)^n f^{(n+1)}(x+uh) du$
De même pour $f(x-h)$ :
$f(x-h) = \sum_{k=0}^n \frac{(-h)^k}{k!} f^{(k)}(x) + \frac{(-h)^{n+1}}{n!} \int_0^1 (1-u)^n f^{(n+1)}(x-uh) du$
En effectuant les combinaisons demandées :
- Pour $\Delta_1(h)$ : Les termes d'ordre pair s'annulent. À l'ordre $n=2$ , il reste $f'(x) + O(h^2)$ . $\boxed{\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} = f'(x)}$
- Pour $\Delta_2(h)$ : Les termes d'ordre impair s'annulent. À l'ordre $n=3$ , on trouve $f''(x) + O(h^2)$ . $\boxed{\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} = f''(x)}$
1. Problème de stabilité numérique : Sur une machine, les nombres sont représentés avec une précision finie (environ 16 chiffres significatifs en double précision). Lorsque $h$ est très petit, $f(x+h)$ et $f(x-h)$ sont extrêmement proches. Leur soustraction entraîne une perte de chiffres significatifs (annulation catastrophique). De plus, la division par $h$ amplifie l'erreur d'arrondi absolue commise lors de la soustraction.
2. En soustrayant les développements de Taylor à l'ordre $n$ , et puisque $T(h) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ , seuls les termes de puissances impaires de $f$ subsistent dans le numérateur, qui sont alors divisés par $2h$ . On obtient ainsi un développement en puissances paires de $h$ : $T(h) = f'(x) + \frac{h^2}{6}f^{(3)}(x) + \dots + \frac{h^{2p}}{(2p+1)!}f^{(2p+1)}(x) + R_n(h)$
  L'expression exacte du reste avec $n=2p+1$ est :
  $\boxed{T(h) = f'(x) + \dots + \frac{h^n}{2n!} \int_0^1 (1-u)^n \left[ f^{(n+1)}(x+uh) + (-1)^n f^{(n+1)}(x-uh) \right] du}$
1. Calculons $T_1^1(h) = \frac{4T(h/2) - T(h)}{3}$ . D'après le développement précédent : $T(h) = f'(x) + \frac{h^2}{6}f^{(3)}(x) + \frac{h^4}{120}f^{(5)}(x) + O(h^6)$ $T(h/2) = f'(x) + \frac{h^2}{24}f^{(3)}(x) + \frac{h^4}{1920}f^{(5)}(x) + O(h^6)$
  En multipliant $T(h/2)$ par 4 :
  $4T(h/2) = 4f'(x) + \frac{h^2}{6}f^{(3)}(x) + \frac{h^4}{480}f^{(5)}(x) + O(h^6)$
  En soustrayant $T(h)$ :
  $4T(h/2) - T(h) = 3f'(x) + \left( \frac{1}{480} - \frac{1}{120} \right) h^4 f^{(5)}(x) + O(h^6)$
  Finalement, en divisant par 3 :
  $\boxed{T_1^1(h) = f'(x) - \frac{h^4}{480}f^{(5)}(x) + O(h^6)}$ L'erreur est passée d'un ordre $h^2$ à un ordre $h^4$ . C'est le principe de l'accélération de convergence.
2. Pour $f(x) = -\text{cotan}(x)$ $f (x) = - cotan (x)$ , on a $f'(x) = 1 + \text{cotan}^2(x) = \frac{1}{\sin^2(x)}$ $f^{'} (x) = 1 + cotan^{2} (x) = \frac{1}{s i n ^{2} ( x )}$ . Pour $x=0,04$ $x = 0, 04$ , la valeur exacte est $f'(0,04) \approx 625,33344002$ $f^{'} (0, 04) \approx 625, 33344002$ .
  Le tableau des $T_m^i$ se construit colonne par colonne (extrapolation de Richardson) :
  - $T_0^i$ sont les approximations par différences centrales avec des pas $h, h/2, h/4 \dots$
  - $T_1^i$ élimine l'erreur en $h^2$ .
  - $T_2^i$ élimine l'erreur en $h^4$ .
  Valeurs calculées (extraites des données sources) : Pour $h=0,0128$ , $T_0^0 \approx 696,6347$ . Après plusieurs itérations, on constate que $T_3^1$ ou $T_2^2$ fournissent une précision proche de $10^{-7}$ , bien meilleure que $T_0^5$ malgré un pas $h$ plus grand.

Confusion entre ordre de dérivée et ordre de précision de l'approximation.

Principe de l'élimination du terme d'erreur dominant par combinaison linéaire (Richardson).