Convergence uniforme et fonctions lipschitziennes

Résolution.

1. Soit $E = \{x_1, x_2, \dots, x_k\}$ une partie finie de $I$. La convergence simple sur $E$ signifie que pour tout $i \in \{1, \dots, k\}$, on a :
   $$\lim_{n \to +\infty} |f_n(x_i) - f(x_i)| = 0$$
   La quantité régissant la convergence uniforme sur $E$ est :
   $$\|f_n - f\|_{\infty, E} = \max_{1 \le i \le k} |f_n(x_i) - f(x_i)|$$
   Comme il s'agit d'un maximum sur un ensemble fini de suites convergeant vers $0$, on en déduit immédiatement :
   $$\lim_{n \to +\infty} \|f_n - f\|_{\infty, E} = 0$$
   $$\boxed{\text{La convergence simple sur un ensemble fini implique la convergence uniforme.}}$$

2. Étape 1 : Propriété de la limite. Soient $x, y \in [0,1]$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $|f_n(x) - f_n(y)| \le |x - y|$. Par passage à la limite simple quand $n \to +\infty$, on obtient immédiatement :
   $$\boxed{|f(x) - f(y)| \le |x - y|}$$
   La fonction $f$ est donc également $1$-lipschitzienne.

   Étape 2 : Discrétisation de l'intervalle. Soit $\varepsilon > 0$. On choisit un entier $p$ tel que $\frac{1}{p} \le \varepsilon$. On considère la subdivision régulière de $[0,1]$ définie par les points $x_k = \frac{k}{p}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, p\}$. D'après la question 1, la convergence est uniforme sur l'ensemble fini $E_p = \{x_0, x_1, \dots, x_p\}$. Il existe donc un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que :

   $$\forall n \ge N,   \max_{0 \le k \le p} |f_n(x_k) - f(x_k)| \le \varepsilon$$

   Étape 3 : Conclusion par argument "en 3 epsilon". Soit $x \in [0,1]$. Il existe un indice $k \in \{0, \dots, p-1\}$ tel que $x \in [x_k, x_{k+1}]$. En particulier, $|x - x_k| \le \frac{1}{p} \le \varepsilon$. On décompose l'écart $|f_n(x) - f(x)|$ à l'aide de l'inégalité triangulaire :

   $$|f_n(x) - f(x)| \le |f_n(x) - f_n(x_k)| + |f_n(x_k) - f(x_k)| + |f(x_k) - f(x)|$$
   En utilisant le caractère $1$-lipschitzien de $f_n$ et de $f$, ainsi que le choix de $N$ :
   $$|f_n(x) - f(x)| \le |x - x_k| + \varepsilon + |x_k - x| \le \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon$$
   On a donc montré que pour tout $n \ge N$ :
   $$\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)| \le 3\varepsilon$$
   $$\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers } f \text{ sur } [0,1].}$$