Convergence d'une suite de fonctions rationnelles et exponentielles

Résolution.

1. Étude de la convergence simple : Soit $x \in [0, 1]$. Analysons le comportement de $f_n(x)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Si $x = 0$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :
   $$f_n(0) = \frac{e^0}{1 + 0} = 1$$
   Ainsi, la suite $(f_n(0))_n$ converge vers $1$. Si $x \in ]0, 1]$, le dénominateur $1 + n^2 x^2$ tend vers $+\infty$ quand $n \to +\infty$. Comme le numérateur $e^{-x}$ est constant par rapport à $n$, on en déduit :
   $$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0$$
   La suite de fonctions $(f_n)$ converge donc simplement sur $[0, 1]$ vers la fonction $f$ définie par :
   $$\boxed{ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x = 0$$
   0 & \text{si } x \in ]0, 1] \end{cases} }
   Étude de la convergence uniforme sur $[0, 1]$ : On remarque que pour tout $n \in \mathbb{N}$, la fonction $f_n$ est continue sur $[0, 1]$. Cependant, la limite simple $f$ n'est pas continue en $0$, car $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \neq f(0)$. D'après le théorème de conservation de la continuité, si la convergence était uniforme sur $[0, 1]$, la limite $f$ serait continue.
   $$\boxed{ \text{La convergence n'est donc pas uniforme sur } [0, 1]. }$$

2. Étude de la convergence uniforme sur $[a, 1]$ avec $a > 0$ : Sur l'intervalle $[a, 1]$, la limite simple de la suite est la fonction nulle ($f_{|[a,1]} = 0$). Pour étudier la convergence uniforme, nous devons examiner la quantité :
   $$\sup_{x \in [a, 1]} |f_n(x) - 0| = \sup_{x \in [a, 1]} \frac{e^{-x}}{1 + n^2 x^2}$$
   Pour tout $x \in [a, 1]$, nous avons les majorations suivantes :
   $$e^{-x} \leq e^{-a} \leq 1   \text{et}   1 + n^2 x^2 \geq 1 + n^2 a^2$$
   On en déduit la majoration indépendante de $x$ :
   $$0 \leq \frac{e^{-x}}{1 + n^2 x^2} \leq \frac{1}{1 + n^2 a^2}$$
   Posons $M_n = \frac{1}{1 + n^2 a^2}$. Comme $a > 0$, nous avons :
   $$\lim_{n \to +\infty} M_n = 0$$
   Puisque $\sup_{x \in [a, 1]} |f_n(x)| \leq M_n$, le critère de convergence uniforme est vérifié.
   $$\boxed{ \text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers } 0 \text{ sur tout segment } [a, 1] \text{ où } a > 0. }$$