Sommation par paquets et convergence

Soit $\sum a_n$ une série à valeurs dans $\mathbb{C}$ . On définit une suite de "blocs" à l'aide d'une application $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante. On pose $\varphi(-1) = -1$ par convention, et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

b_n = \sum_{k=\varphi(n-1)+1}^{\varphi(n)} a_k

Montrer que si la série $\sum a_n$ converge, alors la série $\sum b_n$ converge et : $\sum_{n=0}^{+\infty} b_n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
On suppose maintenant que la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers 0 et que la suite $(\varphi(n+1) - \varphi(n))_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée. Démontrer que dans ce cas, la convergence de la série $\sum b_n$ implique celle de la série $\sum a_n$ .

1.

Pour la question 1, exprimer la somme partielle de $\sum b_n$ en fonction de celle de $\sum a_n$ . Il s'agit d'une sous-suite.

2.

Pour la question 2, pour un indice $m$ quelconque, trouver l'entier $n$ tel que $\varphi(n-1) < m \leq \varphi(n)$ . Contrôler l'écart $|S_m - \widetilde{S}_{n-1}|$ où $\widetilde{S}$ est la somme partielle de $\sum b_k$ .

Idées clés

•

Relation entre sommes partielles : la somme partielle des blocs est une sous-suite des sommes partielles originales.

•

Convergence d'une suite dont une sous-suite converge, sous condition de contrôle de l'oscillation locale.

Résolution.

Notons $S_N = \sum_{k=0}^N a_k$ et $B_n = \sum_{k=0}^n b_k$ . Par définition des $b_k$ , on remarque que la somme partielle $B_n$ correspond exactement à la somme partielle $S_{\varphi(n)}$ : $B_n = b_0 + b_1 + \dots + b_n = \sum_{k=0}^{\varphi(0)} a_k + \sum_{k=\varphi(0)+1}^{\varphi(1)} a_k + \dots + \sum_{k=\varphi(n-1)+1}^{\varphi(n)} a_k = \sum_{k=0}^{\varphi(n)} a_k$ D'où : $B_n = S_{\varphi(n)}$ Si la série $\sum a_n$ converge vers une limite $L$ , alors la suite de ses sommes partielles $(S_N)$ converge vers $L$ . Puisque $\varphi$ est strictement croissante, $\varphi(n) \to +\infty$ quand $n \to +\infty$ . Par composition, la sous-suite $(S_{\varphi(n)})$ converge aussi vers $L$ . \begin{center} \boxed{\text{La série } \sum b_n \text{ converge et } \sum_{n=0}^{+\infty} b_n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n.} \end{center}
Supposons que $\sum b_n$ $\sum b_{n}$ converge vers $B$ $B$ . Cela signifie que $S_{\varphi(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} B$ $S_{φ (n)} n \to + \infty B$ . Soit $m \in \mathbb{N}$ $m \in N$ un entier "quelconque". Comme $\varphi$ $φ$ est strictement croissante et $\varphi(n) \geq n$ $φ (n) \geq n$ , il existe un unique entier $n$ $n$ tel que :
$\varphi(n-1) < m \leq \varphi(n)$
Considérons la différence entre $S_m$ $S_{m}$ et la somme partielle du bloc précédent $S_{\varphi(n-1)}$ $S_{φ (n - 1)}$ :
$|S_m - S_{\varphi(n-1)}| = \left| \sum_{k=\varphi(n-1)+1}^{m} a_k \right| \leq \sum_{k=\varphi(n-1)+1}^{\varphi(n)} |a_k|$
Soit $p = \sup_{n \in \mathbb{N}} (\varphi(n) - \varphi(n-1))$ $p = sup_{n \in N} (φ (n) - φ (n - 1))$ le nombre maximal d'éléments dans un bloc, qui est fini par hypothèse. On a alors :
$|S_m - S_{\varphi(n-1)}| \leq p \times \max_{\varphi(n-1) < k \leq \varphi(n)} |a_k|$
Comme $a_k \to 0$ $a_{k} \to 0$ quand $k \to +\infty$ $k \to + \infty$ , et que $m \to +\infty \implies n \to +\infty$ $m \to + \infty ⟹ n \to + \infty$ , le membre de droite tend vers 0. On écrit alors :
$S_m = (S_m - S_{\varphi(n-1)}) + S_{\varphi(n-1)}$
Par somme de limites :
- $S_{\varphi(n-1)} \to B$ (sous-suite d'une suite convergente).
- $S_m - S_{\varphi(n-1)} \to 0$ .
\begin{center} \boxed{\text{La suite } (S_m) \text{ converge vers } B, \text{ donc } \sum a_n \text{ converge.}} \end{center}

La convergence d'une somme par paquets n'entraîne pas la convergence de la série sans l'hypothèse a_n tend vers 0.

Une série converge si et seulement si une série de ses paquets converge, pourvu que le terme général tende vers 0 et que la taille des paquets soit bornée.