Ensemble des valeurs d'adhérence et pas lent

On considère une suite réelle $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vérifiant la condition de « pas lent » suivante :

\lim_{n \to +\infty} (a_{n+1} - a_n) = 0

On note $A$ l'ensemble des valeurs d'adhérence de cette suite dans $\mathbb{R}$ .

On suppose que $A$ contient au moins deux réels distincts $\alpha$ et $\beta$ , avec $\alpha < \beta$ . Soit $\gamma$ un réel tel que $\alpha < \gamma < \beta$ . Démontrer que $\gamma$ est également une valeur d'adhérence de la suite $(a_n)$ . On pourra chercher à construire une suite d'indices $(j_n)$ telle que $a_{j_n} \to \gamma$ .
En déduire la nature topologique de l'ensemble $A$ .

1.

Pour la question 1, fixer $\varepsilon > 0$ et utiliser la définition de la limite pour le pas et celle des valeurs d'adhérence pour encadrer $\gamma$ par deux termes de la suite suffisamment éloignés.

2.

Utiliser un argument de « valeur intermédiaire discrète » : si $a_p < \gamma < a_q$ , il existe un indice entre $p$ et $q$ où la suite franchit le seuil $\gamma$ avec un saut petit.

3.

Se souvenir qu'une partie de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si elle est convexe (i.e., si elle contient tout segment joignant deux de ses points).

Idées clés

•

Propriété du pas lent pour contrôler les variations locales.

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Définition séquentielle d'une valeur d'adhérence.

•

Caractérisation des intervalles de $\mathbb{R}$ par la convexité.

Résolution.

Soit $\gamma \in ]\alpha, \beta[$ . Pour montrer que $\gamma \in A$ , nous allons construire une suite d'indices $(j_n)$ telle que $a_{j_n}$ converge vers $\gamma$ . Soit $\varepsilon > 0$ . Par hypothèse sur le pas de la suite, il existe un rang $N_0 \in \mathbb{N}$ tel que : $\forall n \ge N_0, |a_{n+1} - a_n| \le \varepsilon$
Comme $\alpha$ est une valeur d'adhérence, il existe un indice $n_1 \ge N_0$ tel que $a_{n_1} < \gamma$ . De même, $\beta$ étant une valeur d'adhérence et $\gamma < \beta$ , il existe un indice $n_2 > n_1$ tel que $a_{n_2} > \gamma$ .
Considérons l'ensemble d'indices $I = \{ k \in \llbracket n_1, n_2 \rrbracket \mid a_k < \gamma \}$ . Cet ensemble est non vide ( $n_1 \in I$ ) et majoré par $n_2$ . Il possède donc un plus grand élément, noté $j$ .
Par définition de $j$ , on a $a_j < \gamma$ . Comme $n_2 \notin I$ (car $a_{n_2} > \gamma$ ), on a $j < n_2$ . Ainsi, l'indice $j+1$ est bien défini et vérifie $a_{j+1} \ge \gamma$ . En combinant ces inégalités, on obtient :
$0 < \gamma - a_j \le a_{j+1} - a_j$
Or, comme $j \ge n_1 \ge N_0$ , on a $|a_{j+1} - a_j| \le \varepsilon$ . On en déduit :
$\boxed{ |a_j - \gamma| \le \varepsilon }$
Pour conclure, on peut construire la suite d'indices $(j_n)$ par récurrence. Pour tout $p \in \mathbb{N}^*$ , on choisit $\varepsilon = 1/p$ . On trouve un indice $j_p$ tel que $|a_{j_p} - \gamma| \le 1/p$ en s'assurant que $j_p > j_{p-1}$ (ce qui est possible car on peut choisir $n_1$ arbitrairement grand).
$\boxed{ \lim_{p \to +\infty} a_{j_p} = \gamma }$
L'ensemble $A$ est une partie de $\mathbb{R}$ . D'après la question précédente, pour tous réels $\alpha, \beta$ dans $A$ tels que $\alpha < \beta$ , le segment $[\alpha, \beta]$ est inclus dans $A$ .
Cette propriété de convexité caractérise les intervalles de $\mathbb{R}$ . De plus, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite est toujours un fermé de $\mathbb{R}$ .

$\boxed{ A \text{ est un intervalle fermé de } \mathbb{R} }$

Ne pas oublier que l'ensemble peut être vide ou un singleton.

L'adhérence d'une suite à pas lent est un intervalle de R.