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Continuité uniforme et prolongement

continuité uniformesuite de fonctionsconvergence uniformeprolongementespace completCritère de Cauchy uniformeThéorème d'interversion des limites

Soit (E,∥⋅∥)(E, \|\cdot\|) un espace vectoriel normé de dimension finie sur R\mathbb{R} ou C\mathbb{C}. Soit f:]0,1]→Ef : ]0, 1] \to E une fonction uniformément continue sur son domaine de définition.

Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, on définit la fonction fnf_n sur ]0,1]]0, 1] par :

∀x∈]0,1],fn(x)=f(max⁡(x,1n))\forall x \in ]0, 1],   f_n(x) = f\left(\max\left(x, \frac{1}{n}\right)\right)

  1. Démontrer que la suite de fonctions (fn)n∈N∗(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*} converge uniformément sur ]0,1]]0, 1].
  2. En déduire que la fonction ff admet une limite finie en 0+0^+.

1.

Utiliser le caractère complet de l'espace des fonctions bornées à valeurs dans un espace de dimension finie (critère de Cauchy uniforme).

2.

Exploiter la définition de la continuité uniforme pour contrôler la différence ∥fn(x)−fp(x)∥\|f_n(x) - f_p(x)\| indépendamment de xx.

3.

Appliquer le théorème d'interversion des limites (ou une de ses conséquences) pour conclure sur l'existence de la limite en 00.

Idées clés

•

Critère de Cauchy uniforme pour les suites de fonctions.

•

Complétude des espaces vectoriels de dimension finie.

•

Propriété de prolongement des fonctions uniformément continues.

1. Convergence uniforme de la suite (fn)(f_n).

Soit ϵ>0\epsilon > 0. Puisque ff est uniformément continue sur ]0,1]]0, 1], il existe un réel δ>0\delta > 0 tel que :

∀(u,v)∈]0,1]2,∣u−v∣≤δ  ⟹  ∥f(u)−f(v)∥≤ϵ\forall (u, v) \in ]0, 1]^2,   |u - v| \leq \delta \implies \|f(u) - f(v)\| \leq \epsilon

Soit N∈N∗N \in \mathbb{N}^* tel que 1N≤δ\frac{1}{N} \leq \delta. Soient n,p≥Nn, p \geq N deux entiers. Considérons x∈]0,1]x \in ]0, 1]. Nous allons majorer la quantité ∥fn(x)−fp(x)∥\|f_n(x) - f_p(x)\| selon la position de xx :

  • Cas 1 : x≥max⁡(1n,1p)x \geq \max\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{p}\right). Alors fn(x)=f(x)f_n(x) = f(x) et fp(x)=f(x)f_p(x) = f(x), donc :
    ∥fn(x)−fp(x)∥=0≤ϵ\|f_n(x) - f_p(x)\| = 0 \leq \epsilon

  • Cas 2 : x≤min⁡(1n,1p)x \leq \min\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{p}\right). Alors fn(x)=f(1n)f_n(x) = f\left(\frac{1}{n}\right) et fp(x)=f(1p)f_p(x) = f\left(\frac{1}{p}\right). Comme n,p≥Nn, p \geq N, on a 1n≤δ\frac{1}{n} \leq \delta et 1p≤δ\frac{1}{p} \leq \delta, d'où ∣1n−1p∣≤δ\left|\frac{1}{n} - \frac{1}{p}\right| \leq \delta. Par continuité uniforme de ff :
    ∥fn(x)−fp(x)∥=∥f(1n)−f(1p)∥≤ϵ\|f_n(x) - f_p(x)\| = \left\|f\left(\frac{1}{n}\right) - f\left(\frac{1}{p}\right)\right\| \leq \epsilon

  • Cas 3 : min⁡(1n,1p)<x<max⁡(1n,1p)\min\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{p}\right) < x < \max\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{p}\right). Supposons sans perte de généralité que n>pn > p. On a alors 1n<x<1p\frac{1}{n} < x < \frac{1}{p}. On en déduit fn(x)=f(x)f_n(x) = f(x) et fp(x)=f(1p)f_p(x) = f\left(\frac{1}{p}\right). Or, ∣x−1p∣=1p−x≤1p≤1N≤δ|x - \frac{1}{p}| = \frac{1}{p} - x \leq \frac{1}{p} \leq \frac{1}{N} \leq \delta. Ainsi :
    ∥fn(x)−fp(x)∥=∥f(x)−f(1p)∥≤ϵ\|f_n(x) - f_p(x)\| = \left\|f(x) - f\left(\frac{1}{p}\right)\right\| \leq \epsilon

Dans tous les cas, pour tout x∈]0,1]x \in ]0, 1], ∥fn(x)−fp(x)∥≤ϵ\|f_n(x) - f_p(x)\| \leq \epsilon. On en déduit que :

∀n,p≥N,∥fn−fp∥∞≤ϵ\forall n, p \geq N,   \|f_n - f_p\|_\infty \leq \epsilon

La suite de fonctions (fn)(f_n) vérifie le critère de Cauchy uniforme. Comme l'espace (E,∥⋅∥)(E, \|\cdot\|) est de dimension finie, il est complet.

Par conséquent, l'espace B(]0,1],E)\mathcal{B}(]0, 1], E) des fonctions bornées muni de la norme sup est complet.

La suite (fn) converge uniformeˊment vers une fonction g sur ]0,1].\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers une fonction } g \text{ sur } ]0, 1].}

Comme pour tout x∈]0,1]x \in ]0, 1], fn(x)=f(x)f_n(x) = f(x) dès que n≥1/xn \geq 1/x, la limite simple de (fn)(f_n) est ff. Ainsi, g=fg = f et (fn)(f_n) converge uniformément vers ff sur ]0,1]]0, 1].

2. Existence d'une limite finie en 0+0^+.

Pour chaque n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, la fonction fnf_n est constante au voisinage de 00. En effet, pour tout x∈]0,1/n]x \in ]0, 1/n], fn(x)=f(1/n)f_n(x) = f(1/n). Ainsi, chaque fnf_n admet une limite finie en 00, notée Ln=f(1/n)L_n = f(1/n).

D'après le théorème d'interversion des limites (ou propriété de la limite uniforme) :

  1. La suite de fonctions (fn)(f_n) converge uniformément vers ff sur ]0,1]]0, 1].
  2. Chaque fonction fnf_n admet une limite LnL_n en 0+0^+.

Le théorème assure alors que :

  1. La suite (Ln)n∈N∗(L_n)_{n \in \mathbb{N}^*} converge vers une limite L∈EL \in E.
  2. La fonction ff admet une limite en 0+0^+ égale à LL.

f admet une limite finie en 0+.\boxed{f \text{ admet une limite finie en } 0^+.}

Confondre continuité simple et continuité uniforme sur un intervalle non fermé.

Une fonction uniformément continue sur ]a,b[ se prolonge par continuité en a et b.