Non-interversion limite-intégrale sur un segment

Résolution.

1. Convergence simple : Si $x = 0$ ou $x = 1$, on a $f_n(0) = 3^n(0-0) = 0$ et $f_n(1) = 3^n(1-1) = 0$. Ainsi, $f_n(x) \to 0$. Pour $x \in   ]0, 1[$, on écrit $x^{2^n} = \exp(2^n \ln x)$. Comme $\ln x < 0$, on a $\lim_{n \to +\infty} 2^n \ln x = -\infty$. Par croissance comparée, le terme $2^n$ l'emporte sur $n \ln 3$, donc :
   $$3^n x^{2^n} = \exp(n \ln 3 + 2^n \ln x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
   De la même manière, $3^n x^{2^{n+1}} \to 0$. Par différence :
   $$\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge simplement vers la fonction nulle sur } [0, 1].}$$

2. Calcul de l'intégrale : Par linéarité de l'intégrale :
   $$I_n = 3^n \left( \int_0^1 x^{2^n} dx - \int_0^1 x^{2^{n+1}} dx \right) = 3^n \left[ \frac{x^{2^n+1}}{2^n+1} - \frac{x^{2^{n+1}+1}}{2^{n+1}+1} \right]_0^1$$
   On obtient :
   $$I_n = 3^n \left( \frac{1}{2^n+1} - \frac{1}{2^{n+1}+1} \right) = 3^n \frac{(2^{n+1}+1) - (2^n+1)}{(2^n+1)(2^{n+1}+1)}$$
   En simplifiant le numérateur :
   $$I_n = \frac{3^n \cdot 2^n}{(2^n+1)(2^{n+1}+1)}$$
   Cherchons un équivalent en l'infini :
   $$I_n \sim \frac{6^n}{2^n \cdot 2^{n+1}} = \frac{1}{2} \left( \frac{6}{4} \right)^n = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \right)^n$$
   Comme $3/2 > 1$, on en déduit :
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} I_n = +\infty}$$

3. Conclusion : D'une part, $\int_0^1 (\lim_{n \to +\infty} f_n(x)) dx = \int_0^1 0   dx = 0$. D'autre part, $\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 f_n(x) dx = +\infty$. Comme il n'y a pas égalité (et même divergence), on en déduit que :
   $$\boxed{\text{La convergence de } (f_n) \text{ vers } 0 \text{ n'est pas uniforme sur } [0, 1].}$$
   Cela invalide également toute hypothèse de domination sur $[0, 1]$.