Ensemble à point d'accumulation unique

Résolution.

Soit $a$ l'unique point d'accumulation de $A$. Introduisons, pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, l'ensemble $K_n$ défini par la couronne fermée suivante :

L'ensemble $K_n$ est une partie fermée et bornée de $E$. Comme $E$ est de dimension finie, $K_n$ est un compact de $E$ d'après le théorème de Borel-Lebesgue (ou la caractérisation séquentielle de la compacité).

Considérons l'intersection de $A$ avec cette couronne :

Montrons que $A_n$ est un ensemble fini pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que $A_{n_0}$ soit infini.

Puisque $A_{n_0}$ est une partie infinie du compact $K_{n_0}$, on peut en extraire une suite $(x_k)_{k \in \mathbb{N}}$ d'éléments distincts deux à deux. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite $(x_{\phi(k)})$ qui converge vers un élément $b \in E$.

Comme $K_{n_0}$ est fermé, la limite $b$ appartient à $K_{n_0}$. Par définition, $b$ est alors un point d'accumulation de $A$.

Or, d'après la définition de $K_{n_0}$, nous avons l'inégalité suivante :

Ceci implique que $b \neq a$. Nous avons donc trouvé un second point d'accumulation pour $A$, ce qui contredit l'hypothèse d'unicité.

Par conséquent, chaque ensemble $A_n$ est nécessairement fini.

Remarquons maintenant que tout point $x$ de $A$ distinct de $a$ appartient à au moins un ensemble $A_n$. En effet, si $x \neq a$, alors $\|x-a\| > 0$. Il existe donc $n_1$ tel que $\|x-a\| \ge \frac{1}{n_1}$. De même, il existe $n_2$ tel que $\|x-a\| \le n_2$. En prenant $n = \max(n_1, n_2)$, on a $x \in A_n$.

On en déduit l'inclusion suivante :

L'ensemble $A \setminus \{a\}$ est donc inclus dans une union dénombrable d'ensembles finis. D'après les propriétés de la dénombrabilité, $A \setminus \{a\}$ est donc au plus dénombrable.

Comme l'ajout d'un point ($a$) ne modifie pas la dénombrabilité, on conclut :