Lemme de Riemann-Lebesgue périodique

Soient $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a < b$ . On considère une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{C}$ continue par morceaux et une fonction $g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ continue par morceaux et $T$ -périodique ( $T > 0$ ).

L'objectif est d'étudier la limite, lorsque $\lambda \to +\infty$ , de la quantité :

I(\lambda) = \int_{a}^{b} f(t) g(\lambda t)   \mathrm{d}t

On suppose dans cette question que $f$ est la fonction caractéristique d'un intervalle $[\alpha, \beta] \subset [a, b]$ . Démontrer que : $\lim_{\lambda \to +\infty} \int_{\alpha}^{\beta} g(\lambda t) \mathrm{d}t = \frac{\beta - \alpha}{T} \int_{0}^{T} g(u) \mathrm{d}u$
En déduire le résultat lorsque $f$ est une fonction en escalier sur $[a, b]$ , puis lorsqu'elle est continue par morceaux.
Cas de régularité accrue : On suppose ici que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ et que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Retrouver le résultat de la limite en utilisant une intégration par parties. On pourra introduire une primitive de $g - m$ où $m$ est la valeur moyenne de $g$ .
Application : Soit $g \in \mathcal{C}^1([0, 1], \mathbb{R})$ une fonction $1$ -périodique et $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ . Calculer $\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1} g(t) f(nt) \mathrm{d}t$ .

1.

Pour la question 1, effectuer le changement de variable $u = \lambda t$ et utiliser la décomposition de l'intervalle d'intégration en périodes entières.

2.

Pour la question 2, utiliser la densité des fonctions en escalier dans l'espace des fonctions continues par morceaux pour la norme $\| \cdot \|_1$ .

3.

Pour la question 3, si $m = \frac{1}{T} \int_0^T g$ , alors la fonction $G(x) = \int_0^x (g(u)-m) \mathrm{d}u$ est $T$ -périodique et bornée.

4.

Pour la question 4, se ramener au cas général en identifiant les rôles de $f$ et $g$ .

Idées clés

•

Densité des fonctions en escalier (approche par étapes).

•

Exploitation de la périodicité par découpage de l'intervalle.

•

Utilisation d'une primitive bornée pour l'IPP (cas $\mathcal{C}^1$ ).

Résolution.

Soit $f = \mathbf{1}_{[\alpha, \beta]}$ . On pose $I(\lambda) = \int_{\alpha}^{\beta} g(\lambda t) \mathrm{d}t$ . Le changement de variable $u = \lambda t$ donne : $I(\lambda) = \frac{1}{\lambda} \int_{\lambda \alpha}^{\lambda \beta} g(u) \mathrm{d}u$
Notons $N_\lambda = \lfloor \frac{\lambda \beta - \lambda \alpha}{T} \rfloor$ le nombre de périodes complètes. Par périodicité, l'intégrale sur chaque période vaut $\int_0^T g$ .
$I(\lambda) = \frac{N_\lambda}{\lambda} \int_{0}^{T} g(u) \mathrm{d}u + \frac{1}{\lambda} \int_{\text{reste}} g(u) \mathrm{d}u$
Le terme de "reste" est intégré sur un intervalle de longueur inférieure à $T$ , donc comme $g$ est bornée sur une période (car CPM), ce terme est un $O(1/\lambda)$ . Comme $\frac{N_\lambda T}{\lambda} \to \beta - \alpha$ , on en déduit :
$\boxed{ \lim_{\lambda \to +\infty} I(\lambda) = \frac{\beta - \alpha}{T} \int_{0}^{T} g(u) \mathrm{d}u }$
Par linéarité, le résultat est vrai pour toute fonction en escalier. Pour $f$ continue par morceaux, soit $\varepsilon > 0$ . Il existe une fonction en escalier $\phi$ telle que $\|f - \phi\|_1 = \int_a^b |f - \phi| \leq \varepsilon$ . On écrit : $\left| \int_a^b f(t)g(\lambda t) \mathrm{d}t - m \int_a^b f \right| \leq \int_a^b |f-\phi| |g(\lambda t)| + \left| \int_a^b \phi(t)g(\lambda t) - m \int_a^b \phi \right| + |m| \int_a^b |\phi - f|$ En utilisant le fait que $g$ est bornée ( $\|g\|_\infty = M$ ), le premier et le troisième terme sont majorés par $(M + |m|)\varepsilon$ . Le terme central tend vers 0 d'après le cas précédent. D'où le résultat général : $\boxed{ \lim_{\lambda \to +\infty} \int_{a}^{b} f(t) g(\lambda t) \mathrm{d}t = \left( \frac{1}{T} \int_{0}^{T} g \right) \left( \int_{a}^{b} f \right) }$
Supposons $f \in \mathcal{C}^1$ et $g$ continue. Soit $m = \frac{1}{T} \int_0^T g$ . On pose $h(u) = g(u) - m$ . La fonction $H : x \mapsto \int_0^x h(u) \mathrm{d}u$ est une primitive de $h$ , $T$ -périodique (car $\int_0^T h = 0$ ), donc bornée par une constante $K$ . Par intégration par parties : $\int_a^b f(t) h(\lambda t) \mathrm{d}t = \left[ f(t) \frac{H(\lambda t)}{\lambda} \right]_a^b - \int_a^b f'(t) \frac{H(\lambda t)}{\lambda} \mathrm{d}t$ On majore : $\left| \int_a^b f(t) h(\lambda t) \mathrm{d}t \right| \leq \frac{K}{\lambda} \left( |f(b)| + |f(a)| + \int_a^b |f'(t)| \mathrm{d}t \right) \xrightarrow[\lambda \to +\infty]{} 0$ . Ainsi $\int f(t) g(\lambda t) \to \int f(t) m = m \int f$ .
Ici, $f$ joue le rôle de $g$ (périodique) et $g$ joue le rôle de $f$ (fixe). L'intégrale est $\int_0^1 g(t) f(nt) \mathrm{d}t$ . Par le même raisonnement (ou en invoquant le résultat précédent), la limite est le produit de la valeur moyenne de la fonction "dilatée" et de l'intégrale de la fonction "fixe". La valeur moyenne de $f$ (en supposant $f$ périodique de période $T_f$ ) est $m_f = \frac{1}{T_f} \int_0^{T_f} f$ . $\boxed{ L = \left( \int_0^1 g(t) \mathrm{d}t \right) \times \left( \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T f(u) \mathrm{d}u \right) }$ Si $f$ est $T$ -périodique, la limite est $\frac{1}{T} \int_0^T f$ .

Justification du caractère borné de g via la périodicité.

Utilisation de la densité des fonctions en escalier.