Moyenne temporelle et corrélation périodique

Résolution.

1. Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. Posons $g_x : t \mapsto f(x+t)f(t)$. Puisque $f$ est $2\pi$-périodique, la fonction $g_x$ est également $2\pi$-périodique et continue sur $\mathbb{R}$. D'après le cours sur les fonctions périodiques, la moyenne de Cesàro intégrale converge vers la valeur moyenne sur une période :
   $$\frac{1}{n} \int_{0}^{n} g_x(t)   \mathrm{d}t \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} g_x(t)   \mathrm{d}t$$
   Ainsi, la suite $(F_n)$ converge simplement vers la fonction $F$ définie par :
   $$\boxed{F(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x+t)f(t)   \mathrm{d}t}$$

2. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Effectuons la division euclidienne (dans $\mathbb{R}$) de $n$ par $2\pi$ : $n = 2\pi k_n + r_n$ avec $k_n = \lfloor \frac{n}{2\pi} \rfloor$ et $0 \le r_n < 2\pi$. Par périodicité de $g_x$, on a :
   $$\int_{0}^{n} g_x(t)   \mathrm{d}t = k_n \int_{0}^{2\pi} g_x(t)   \mathrm{d}t + \int_{2\pi k_n}^{n} g_x(t)   \mathrm{d}t$$
   D'où :
   $$F_n(x) = \frac{2\pi k_n}{n} F(x) + \frac{1}{n} \int_{0}^{r_n} g_x(t)   \mathrm{d}t$$
   Étudions l'écart $|F_n(x) - F(x)|$ :
   $$F_n(x) - F(x) = \left( \frac{2\pi k_n}{n} - 1 \right) F(x) + \frac{1}{n} \int_{0}^{r_n} f(x+t)f(t)   \mathrm{d}t$$
   Puisque $f$ est continue et périodique, elle est bornée sur $\mathbb{R}$. Soit $M = \sup_{t \in \mathbb{R}} |f(t)|$. On a alors $|g_x(t)| \le M^2$ et $|F(x)| \le M^2$. On en déduit la majoration indépendante de $x$ :
   $$|F_n(x) - F(x)| \le \left| \frac{2\pi k_n}{n} - 1 \right| M^2 + \frac{1}{n} \int_{0}^{2\pi} M^2   \mathrm{d}t$$
   $$|F_n(x) - F(x)| \le \left| \frac{2\pi k_n - n}{n} \right| M^2 + \frac{2\pi M^2}{n} \le \frac{2\pi M^2}{n} + \frac{2\pi M^2}{n} = \frac{4\pi M^2}{n}$$
   Comme cette majoration ne dépend pas de $x$ et tend vers $0$ quand $n \to +\infty$ :
   $$\boxed{\text{La convergence de } (F_n) \text{ vers } F \text{ est uniforme sur } \mathbb{R}.}$$

3. Calculons d'abord $F(0)$ :
   $$F(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t)^2   \mathrm{d}t \ge 0$$
   Appliquons l'inégalité de Cauchy-Schwarz à l'intégrale définissant $F(x)$ pour un $x \in \mathbb{R}$ quelconque :
   $$|F(x)| \le \frac{1}{2\pi} \left( \int_{0}^{2\pi} f(x+t)^2   \mathrm{d}t \right)^{1/2} \left( \int_{0}^{2\pi} f(t)^2   \mathrm{d}t \right)^{1/2}$$
   Par $2\pi$-périodicité de $f^2$, l'intégrale sur une période est invariante par translation :
   $$\int_{0}^{2\pi} f(x+t)^2   \mathrm{d}t = \int_{x}^{x+2\pi} f(u)^2   \mathrm{d}u = \int_{0}^{2\pi} f(u)^2   \mathrm{d}u$$
   L'inégalité devient donc :
   $$|F(x)| \le \frac{1}{2\pi} \sqrt{2\pi F(0)} \sqrt{2\pi F(0)} = F(0)$$
   On a donc $\forall x \in \mathbb{R}, |F(x)| \le F(0) = |F(0)|$. Comme $F(0)$ est l'une des valeurs prises par $F$, on conclut :
   $$\boxed{\|F\|_{\infty} = |F(0)|}$$