Comportement asymptotique d'intégrales multiples

Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit les deux intégrales multiples suivantes :

$I_{n}(f)=\int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} f\left(\sqrt[n]{x_{1} \dots x_{n}}\right) \mathrm{d} x_{1} \dots \mathrm{d} x_{n}$
$J_{n}(f)=\int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} f\left(\frac{x_{1}+\dots+x_{n}}{n}\right) \mathrm{d} x_{1} \dots \mathrm{d} x_{n}$

Étudier la convergence de ces deux suites et déterminer leurs limites respectives en fonction de $f$ .

1.

Pour la question 1, on pourra commencer par tester la convergence lorsque $f$ est une fonction puissance de la forme $x \mapsto x^k$ , puis utiliser le théorème de Weierstrass.

2.

Pour la question 2, on pourra interpréter l'intégrale comme l'espérance d'une variable aléatoire et utiliser la loi faible des grands nombres ou procéder par densité des polynômes.

Idées clés

•

Densité des polynômes (Théorème de Weierstrass) sur un segment.

•

Linéarité de l'intégrale et passage à la limite.

•

Interprétation probabiliste (Loi faible des grands nombres).

Résolution de la question 1.

Considérons d'abord le cas où $f$ est un monôme, c'est-à-dire $f_k(x) = x^k$ pour $k \in \mathbb{N}$ . Par application du théorème de Fubini, l'intégrale se sépare en un produit d'intégrales simples :

I_n(f_k) = \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} (x_1 \dots x_n)^{k/n} \mathrm{d} x_1 \dots \mathrm{d} x_n = \prod_{j=1}^n \left( \int_0^1 x_j^{k/n} \mathrm{d} x_j \right)

Chaque intégrale simple se calcule aisément :

\int_0^1 x^{k/n} \mathrm{d} x = \left[ \frac{x^{k/n + 1}}{k/n + 1} \right]_0^1 = \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}

On en déduit :

I_n(f_k) = \left( 1 + \frac{k}{n} \right)^{-n} = \exp\left( -n \ln\left( 1 + \frac{k}{n} \right) \right)

En utilisant un développement limité au voisinage de 0, on a $-n \ln(1 + k/n) = -n(k/n + O(1/n^2)) = -k + O(1/n)$ , d'où :

\lim_{n \to +\infty} I_n(f_k) = e^{-k} = f_k(e^{-1})

Par linéarité, le résultat $\lim I_n(P) = P(e^{-1})$ est vrai pour tout polynôme $P$ . Soit maintenant $f \in \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$ et $\epsilon > 0$ . Par le théorème de Weierstrass, il existe un polynôme $P$ tel que $\|f-P\|_{\infty} \le \epsilon$ .

On a $|I_n(f) - f(e^{-1})| \le |I_n(f) - I_n(P)| + |I_n(P) - P(e^{-1})| + |P(e^{-1}) - f(e^{-1})|$ . Or $|I_n(f) - I_n(P)| \le I_n(|f-P|) \le \epsilon$ et $|P(e^{-1}) - f(e^{-1})| \le \epsilon$ . Comme $\lim I_n(P) = P(e^{-1})$ , pour $n$ assez grand, $|I_n(P) - P(e^{-1})| \le \epsilon$ . On en déduit que $I_n(f) \to f(e^{-1})$ .

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} I_n(f) = f(e^{-1}) }

Résolution de la question 2.

Soient $X_1, \dots, X_n$ des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi uniforme sur $[0,1]$ . L'intégrale $J_n(f)$ s'interprète comme l'espérance :

J_n(f) = E\left[ f\left( \frac{X_1 + \dots + X_n}{n} \right) \right]

Posons $\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ . D'après la loi faible des grands nombres, $\bar{X}_n$ converge en probabilité vers $E(X_1) = \frac{1}{2}$ . Comme $f$ est continue sur le segment $[0,1]$ , elle y est bornée. D'après le théorème de transfert pour la convergence en loi (ou par application directe pour une fonction continue bornée), on a :

\lim_{n \to +\infty} E[f(\bar{X}_n)] = f(1/2)

Si l'on souhaite une preuve sans invoquer explicitement la convergence en loi, on peut utiliser l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev. Soit $\delta > 0$ :

P(|\bar{X}_n - 1/2| \ge \delta) \le \frac{Var(X_1)}{n \delta^2} = \frac{1}{12n \delta^2}

En découpant l'espérance selon l'événement $\{|\bar{X}_n - 1/2| < \delta\}$ et son complémentaire, et en utilisant la continuité uniforme de $f$ (théorème de Heine), on montre que $J_n(f) \to f(1/2)$ .

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} J_n(f) = f(1/2) }

Confusion entre limite de moyenne géométrique et moyenne arithmétique.

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