Caractérisation de la dérivabilité en zéro

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $0$ . On suppose que $f$ est continue en $0$ .

On définit pour tout $x \in I \setminus \{0\}$ tel que $2x \in I$ , la fonction :

\Delta(x) = \frac{f(2x) - f(x)}{x}

On suppose que $\Delta$ admet une limite finie $\ell$ lorsque $x$ tend vers $0$ .

Montrer que pour tout $x \neq 0$ assez petit, le taux d'accroissement de $f$ entre $0$ et $x$ peut s'écrire comme la somme d'une série : $\frac{f(x) - f(0)}{x} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} \Delta\left(\frac{x}{2^k}\right)$
En déduire que la fonction $f$ est dérivable en $0$ et déterminer la valeur de $f'(0)$ .

1.

Pour la question 1, commencer par exprimer $f(x) - f(x/2^n)$ comme une somme télescopique en faisant apparaître des termes de la forme $f(2t) - f(t)$ avec $t = x/2^k$ . Utiliser ensuite la continuité de $f$ en $0$ .

2.

Pour la question 2, utiliser l'expression obtenue sous forme de série et appliquer un argument de limite sous le signe somme (ou un raisonnement en $\varepsilon$ - $\delta$ ) en exploitant la convergence de la série géométrique $\sum \frac{1}{2^k}$ .

Idées clés

•

Somme télescopique pour lier $f(x)$ et $f(x/2^n)$ .

•

Utilisation cruciale de la continuité en $0$ pour faire tendre $x/2^n$ vers $0$ .

•

Interversion limite-somme pour une série de fonctions ou encadrement par la somme d'une série géométrique.

Résolution.

Expression du taux d'accroissement sous forme de série.
Soit $x \in I \setminus \{0\}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $x/2^n \in I$ . Pour tout entier $k \in \mathbb{N}^*$ , on utilise la définition de $\Delta$ au point $t = \frac{x}{2^k}$ :
$\Delta\left(\frac{x}{2^k}\right) = \frac{f\left(2 \cdot \frac{x}{2^k}\right) - f\left(\frac{x}{2^k}\right)}{\frac{x}{2^k}} = \frac{f\left(\frac{x}{2^{k-1}}\right) - f\left(\frac{x}{2^k}\right)}{\frac{x}{2^k}}$
On peut réécrire cette égalité sous la forme :
$\frac{1}{2^k} \Delta\left(\frac{x}{2^k}\right) = \frac{f\left(\frac{x}{2^{k-1}}\right) - f\left(\frac{x}{2^k}\right)}{x}$
Sommons cette relation pour $k$ allant de $1$ à $n$ (où $n \in \mathbb{N}^*$ ) :
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} \Delta\left(\frac{x}{2^k}\right) = \frac{1}{x} \sum_{k=1}^n \left( f\left(\frac{x}{2^{k-1}}\right) - f\left(\frac{x}{2^k}\right) \right)$
La somme à droite est télescopique. Elle se simplifie immédiatement :
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} \Delta\left(\frac{x}{2^k}\right) = \frac{f(x) - f(x/2^n)}{x}$
Puisque $f$ est supposée continue en $0$ , nous savons que :
$\lim_{n \to +\infty} f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(0)$
En passant à la limite quand $n \to +\infty$ dans l'égalité précédente, la somme partielle converge, et nous obtenons :
$\boxed{ \frac{f(x) - f(0)}{x} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} \Delta\left(\frac{x}{2^k}\right) }$
Démonstration de la dérivabilité en $0$ .
Posons $g(x) = \frac{f(x) - f(0)}{x}$ . Nous voulons montrer que $\lim_{x \to 0} g(x) = \ell$ .
Soit $\varepsilon > 0$ . Par hypothèse, $\Delta(u) \to \ell$ quand $u \to 0$ . Il existe donc $\delta > 0$ tel que pour tout $u \in I \setminus \{0\}$ :
$|u| < \delta \implies |\Delta(u) - \ell| < \varepsilon$
Soit $x$ tel que $0 < |x| < \delta$ . Alors pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , on a $\left| \frac{x}{2^k} \right| < \delta$ , ce qui implique :
$\left| \Delta\left(\frac{x}{2^k}\right) - \ell \right| < \varepsilon$
Utilisons maintenant l'expression de $g(x)$ établie à la question précédente et le fait que $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 1$ :
$g(x) - \ell = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} \Delta\left(\frac{x}{2^k}\right) - \ell \left( \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} \right)$
Par linéarité de la somme (pour des séries convergentes) :
$g(x) - \ell = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} \left( \Delta\left(\frac{x}{2^k}\right) - \ell \right)$
En appliquant l'inégalité triangulaire :
$|g(x) - \ell| \leq \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} \left| \Delta\left(\frac{x}{2^k}\right) - \ell \right| \leq \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} \varepsilon = \varepsilon$
On a donc montré que pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que $|x| < \delta$ entraîne $|g(x) - \ell| \leq \varepsilon$ . Ceci prouve que $\lim_{x \to 0} g(x) = \ell$ .
La fonction $f$ est donc dérivable en $0$ et :
$\boxed{ f'(0) = \ell }$

Oublier l'hypothèse de continuité en 0 pour le passage à la limite dans la somme télescopique.

Expression d'un taux d'accroissement par une série de différences finies.