Comportement d'une suite d'intégrales exponentielles

Résolution.

1. Étude de la convergence de l'intégrale.

   Soit $n \in \mathbb{N}$. La fonction $f_n : x \mapsto \ln(n+x)e^{-nx}$ est continue sur $]0, +\infty[$.

   Cas $n=0$ : On a $f_0(x) = \ln(x)$. Au voisinage de $0$, $f_0$ est intégrable (primitive $x \ln x - x$). Cependant, au voisinage de $+\infty$, $\ln(x)$ ne tend pas vers $0$, donc l'intégrale diverge. Cas $n \geq 1$ : En $0$, la fonction $f_n$ est continue et admet une limite finie $\ln(n)$. En $+\infty$, par croissance comparée, on a :

   $$x^2 f_n(x) = x^2 \ln(n+x) e^{-nx} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$$
   Ainsi, $f_n(x) = o\left(\frac{1}{x^2}\right)$, ce qui assure l'intégrabilité sur $[0, +\infty[$.
   $$\boxed{ I_n \text{ converge si et seulement si } n \geq 1 }$$

2. Nature de la série $\sum I_n$.

   Supposons $n \geq 3$ afin d'avoir $\ln(n) \geq \ln(3) > 1$. Pour tout $x \in [0, +\infty[$, on a $n+x \geq n$, donc par croissance du logarithme :

   $$\ln(n+x) \geq \ln(n)$$
   On en déduit la minoration suivante pour $I_n$ :
   $$I_n \geq \int_0^{+\infty} \ln(n) e^{-nx}   dx = \ln(n) \left[ \frac{e^{-nx}}{-n} \right]_0^{+\infty} = \frac{\ln n}{n}$$

   Or, on sait que $\frac{\ln n}{n} \geq \frac{1}{n}$ pour $n \geq 3$. La série $\sum \frac{1}{n}$ étant la série harmonique divergente, par comparaison de séries à termes positifs :

   $$\boxed{ \text{La série } \sum I_n \text{ diverge.} }$$

3. Équivalent de $I_n$ en $+\infty$.

   Effectuons une intégration par parties. Posons :

   $$\begin{cases} u(x) = \ln(n+x) & \implies u'(x) = \frac{1}{n+x}$$
   v'(x) = e^{-nx} & \impliedby v(x) = -\frac{1}{n} e^{-nx} \end{cases}
   Le terme entre crochets $[u(x)v(x)]_0^{+\infty} = \left[ -\frac{\ln(n+x)e^{-nx}}{n} \right]_0^{+\infty}$ possède des limites finies (0 en $+\infty$ et $\frac{\ln n}{n}$ en $0$). L'IPP est donc licite :
   $$I_n = \frac{\ln n}{n} + \frac{1}{n} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n+x}   dx$$

   Analysons le reste $R_n = \frac{1}{n} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n+x}   dx$. Pour tout $x \geq 0$, on a $n+x \geq n$, d'où $\frac{1}{n+x} \leq \frac{1}{n}$. On peut alors majorer $R_n$ :

   $$0 \leq R_n \leq \frac{1}{n} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n}   dx = \frac{1}{n^2} \left[ \frac{e^{-nx}}{-n} \right]_0^{+\infty} = \frac{1}{n^3}$$

   On a donc $R_n = O\left(\frac{1}{n^3}\right)$. Comme $\frac{1}{n^3} = o\left(\frac{\ln n}{n}\right)$, le terme prépondérant est bien $\frac{\ln n}{n}$.

   $$\boxed{ I_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{\ln n}{n} }$$