Vitesse de convergence des polynômes de Bernstein

Soit $\alpha \in ]0, 1]$ . On considère une fonction $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ que l'on suppose $\alpha$ -höldérienne, c'est-à-dire qu'il existe une constante $M \ge 0$ telle que :

\forall (x, y) \in [0, 1]^2,   |f(x) - f(y)| \le M |x - y|^\alpha

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit le $n$ -ième polynôme de Bernstein associé à $f$ par :

\forall x \in [0, 1],   B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k (1 - x)^{n - k} f\left(\frac{k}{n}\right)

Démontrer que la suite de polynômes $(B_n(f))_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$ et que la vitesse de convergence vérifie :

\|f - B_n(f)\|_\infty = O\left(n^{-\alpha/2}\right)

1.

Introduire pour chaque $x \in [0, 1]$ une variable aléatoire $X_n$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, x)$ .

2.

Exprimer $B_n(f)(x)$ comme une espérance faisant intervenir $X_n$ .

3.

Utiliser l'inégalité de Jensen pour la fonction concave $t \mapsto t^{\alpha/2}$ .

Idées clés

•

Interprétation probabiliste des polynômes de Bernstein.

•

Utilisation de la concavité et de l'inégalité de Jensen.

•

Majoration de la variance d'une loi binomiale.

Résolution.

Soit $x \in [0, 1]$ . On considère une variable aléatoire $X_n$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n, x)$ .

D'après le théorème de transfert, l'espérance de la variable aléatoire $f\left(\frac{X_n}{n}\right)$ est donnée par :

\mathbb{E}\left[f\left(\frac{X_n}{n}\right)\right] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k (1 - x)^{n - k} f\left(\frac{k}{n}\right) = B_n(f)(x)

Comme la somme des probabilités d'une loi binomiale vaut $1$ , on peut écrire :

f(x) = f(x) \sum_{k=0}^{n} P(X_n = k) = \mathbb{E}[f(x)]

On en déduit l'expression de l'écart par linéarité de l'espérance :

|f(x) - B_n(f)(x)| = \left| \mathbb{E}\left[ f(x) - f\left(\frac{X_n}{n}\right) \right] \right|

En utilisant l'inégalité triangulaire pour l'espérance, puis l'hypothèse de höldérienneté de $f$ :

|f(x) - B_n(f)(x)| \le \mathbb{E}\left[ \left| f(x) - f\left(\frac{X_n}{n}\right) \right| \right] \le M \mathbb{E}\left[ \left| x - \frac{X_n}{n} \right|^\alpha \right]

Posons $Y_n = \left( x - \frac{X_n}{n} \right)^2$ . L'expression précédente s'écrit :

|f(x) - B_n(f)(x)| \le M \mathbb{E}\left[ Y_n^{\alpha/2} \right]

Comme $\alpha \in ]0, 1]$ , on a $\alpha/2 \in ]0, 1/2]$ . La fonction $t \mapsto t^{\alpha/2}$ est donc concave sur $\mathbb{R}^+$ . Par l'inégalité de Jensen, on obtient :

\mathbb{E}\left[ Y_n^{\alpha/2} \right] \le \left( \mathbb{E}[Y_n] \right)^{\alpha/2}

Or, $\mathbb{E}[Y_n]$ est le moment d'ordre 2 de l'écart entre $X_n/n$ et son espérance $x$ . Il s'agit de la variance de $X_n/n$ :

\mathbb{E}[Y_n] = \text{Var}\left(\frac{X_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \text{Var}(X_n) = \frac{nx(1-x)}{n^2} = \frac{x(1-x)}{n}

L'étude de la fonction $x \mapsto x(1-x)$ montre qu'elle atteint son maximum en $1/2$ sur $[0, 1]$ , d'où $x(1-x) \le \frac{1}{4}$ . Ainsi :

\mathbb{E}[Y_n] \le \frac{1}{4n}

En injectant ce résultat dans notre majoration :

|f(x) - B_n(f)(x)| \le M \left( \frac{1}{4n} \right)^{\alpha/2} = \frac{M}{2^\alpha n^{\alpha/2}}

Cette majoration étant indépendante de $x$ , nous avons :

\boxed{ \|f - B_n(f)\|_\infty \le \frac{M}{2^\alpha n^{\alpha/2}} }

On conclut que :

\boxed{ \|f - B_n(f)\|_\infty = O\left(n^{-\alpha/2}\right) }

Vérifier la concavité avant d'utiliser Jensen.

L'interprétation probabiliste des polynômes de Bernstein simplifie les calculs de convergence.