Noyaux d'approximation et régularisation

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue et intégrable sur $\mathbb{R}$ .

On considère une suite de fonctions $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ continues sur $\mathbb{R}$ satisfaisant les trois propriétés suivantes :

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $g_n$ est positive et $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} g_n(t) \mathrm{d}t = 1$ .
Pour tout $\alpha > 0$ , $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int_{-\alpha}^{\alpha} g_n(t) \mathrm{d}t = 1$ .
Pour tout $\alpha > 0$ , $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \sup_{|t| \geq \alpha} g_n(t) \right) = 0$ .

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in \mathbb{R}$ , on définit la fonction $F_n$ par :

F_n(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) g_n(t)   \mathrm{d}t

Démontrer que pour tout réel $x$ , la suite $(F_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $f(x)$ .

1.

Commencer par justifier l'existence de l'intégrale définissant $F_n(x)$ en utilisant la croissance comparée ou le caractère borné des fonctions continues sur un compact.

2.

Utiliser la condition $\int_{\mathbb{R}} g_n = 1$ pour exprimer la différence $F_n(x) - f(x)$ sous la forme d'une unique intégrale.

3.

Découper l'intégrale en deux parties : une zone proche de l'origine ( $|t| \leq \alpha$ ) où l'on exploite la continuité de $f$ en $x$ , et une zone lointaine ( $|t| > \alpha$ ) où l'on exploite la décroissance de $g_n$ et l'intégrabilité de $f$ .

Idées clés

•

Utilisation de la structure de "noyau d'approximation" (ou approximation de l'unité).

•

Découpage de Chasles (méthode de la fenêtre) pour isoler la continuité locale.

•

Inégalité triangulaire intégrale pour majorer les termes d'erreur.

Étape 1 : Existence de l'intégrale.

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$ . La fonction $g_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ et tend vers $0$ en $\pm \infty$ d'après la condition (iii). Elle est donc bornée sur $\mathbb{R}$ .

Posons $M_n = \sup_{t \in \mathbb{R}} g_n(t)$ . On a alors, pour tout $t \in \mathbb{R}$ :

|f(x-t) g_n(t)| \leq M_n |f(x-t)|

Comme $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ , par changement de variable affine, $t \mapsto f(x-t)$ l'est aussi. Par comparaison de fonctions positives, l'intégrale définissant $F_n(x)$ est absolument convergente.

Étape 2 : Expression de l'écart.

Puisque $\int_{\mathbb{R}} g_n(t) \mathrm{d}t = 1$ , on peut écrire le terme constant sous forme intégrale :

f(x) = f(x) \int_{-\infty}^{+\infty} g_n(t)   \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) g_n(t)   \mathrm{d}t

Par linéarité de l'intégrale, on obtient :

F_n(x) - f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left( f(x-t) - f(x) \right) g_n(t)   \mathrm{d}t

D'après l'inégalité triangulaire :

|F_n(x) - f(x)| \leq \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x-t) - f(x)| g_n(t)   \mathrm{d}t

Étape 3 : Découpage et majoration.

Soit $\varepsilon > 0$ . Par continuité de $f$ en $x$ , il existe $\alpha > 0$ tel que :

\forall t \in [-\alpha, \alpha],   |f(x-t) - f(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2}

Découpons l'intégrale en deux zones $I_1(n)$ et $I_2(n)$ correspondant respectivement à $\{|t| \leq \alpha\}$ et $\{|t| > \alpha\}$ .

Pour la première zone $I_1(n)$ :

I_1(n) = \int_{-\alpha}^{\alpha} |f(x-t) - f(x)| g_n(t)   \mathrm{d}t \leq \frac{\varepsilon}{2} \int_{-\alpha}^{\alpha} g_n(t)   \mathrm{d}t

Comme $\int_{-\alpha}^{\alpha} g_n \leq \int_{\mathbb{R}} g_n = 1$ , on a :

\boxed{ I_1(n) \leq \frac{\varepsilon}{2} }

Pour la seconde zone $I_2(n)$ :

I_2(n) = \int_{|t| > \alpha} |f(x-t) - f(x)| g_n(t)   \mathrm{d}t \leq \int_{|t| > \alpha} |f(x-t)| g_n(t)   \mathrm{d}t + |f(x)| \int_{|t| > \alpha} g_n(t)   \mathrm{d}t

D'après la condition (iii), $g_n$ converge uniformément vers $0$ sur l'ensemble $\{|t| \geq \alpha\}$ . Soit $h_n(\alpha) = \sup_{|t| \geq \alpha} g_n(t)$ . On a :

I_2(n) \leq h_n(\alpha) \int_{|t| > \alpha} |f(x-t)|   \mathrm{d}t + |f(x)| \left( 1 - \int_{-\alpha}^{\alpha} g_n(t)   \mathrm{d}t \right)

Or $\int_{|t| > \alpha} |f(x-t)| \mathrm{d}t \leq \|f\|_1$ . D'où :

I_2(n) \leq h_n(\alpha) \|f\|_1 + |f(x)| \left( 1 - \int_{-\alpha}^{\alpha} g_n(t)   \mathrm{d}t \right)

D'après les conditions (ii) et (iii), les deux termes de droite tendent vers $0$ quand $n \to +\infty$ . Il existe donc un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$ :

\boxed{ I_2(n) \leq \frac{\varepsilon}{2} }

Conclusion :

Pour tout $n \geq N$ , on a $|F_n(x) - f(x)| \leq I_1(n) + I_2(n) \leq \varepsilon$ . On a donc bien :

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} F_n(x) = f(x) }

Oublier de vérifier l'intégrabilité de la fonction f sur R avant de manipuler les intégrales impropres.

Technique de découpage d'intégrale pour prouver une convergence locale (continuité) combinée à une domination globale (intégrabilité).