Limite d'une intégrale par convergence dominée

Pour tout entier naturel non nul $n \in \mathbb{N}^*$ , on considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par :

f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{1 + nx + x^2}

Justifier que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , la fonction $f_n$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+$ .
Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par : $I_n = \int_0^{+\infty} f_n(x) dx$

1.

Pour l'intégrabilité, étudiez la continuité sur $[0, +\infty[$ et recherchez un équivalent ou une majoration au voisinage de $+\infty$ .

2.

Pour la limite, vérifiez la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ .

3.

Cherchez une fonction dominante $\phi$ indépendante de $n$ , continue par morceaux et intégrable sur $\mathbb{R}_+$ , telle que $|f_n(x)| \le \phi(x)$ . Une majoration simple du dénominateur par $1+x^2$ peut être utile.

Idées clés

•

Critère de Riemann pour l'intégrabilité sur un intervalle non borné.

•

Théorème de convergence dominée (TCD).

•

Majoration uniforme de la valeur absolue.

Résolution.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . La fonction $x \mapsto f_n(x)$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ par quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}_+$ (puisque $1+nx+x^2 \ge 1$ ).
Au voisinage de $+\infty$ , on a la majoration suivante :
$|f_n(x)| = \left| \frac{\sin(nx)}{1 + nx + x^2} \right| \le \frac{1}{x^2}$
Comme la fonction $x \mapsto \frac{1}{x^2}$ est intégrable sur $[1, +\infty[$ (intégrale de Riemann avec $2 > 1$ ), par comparaison de fonctions positives, $f_n$ est absolument intégrable sur $[1, +\infty[$ .
Comme $f_n$ est continue sur $[0, 1]$ , elle y est également intégrable. Finalement :
$\boxed{f_n \text{ est intégrable sur } \mathbb{R}_+}$
Calculons la limite de l'intégrale en utilisant le théorème de convergence dominée.
Étape 1 : Convergence simple. Pour tout $x > 0$ , on a :
$|f_n(x)| = \frac{|\sin(nx)|}{1 + nx + x^2} \le \frac{1}{1 + nx + x^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$
Pour $x = 0$ , $f_n(0) = \frac{\sin(0)}{1} = 0$ . Ainsi, la suite $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$ vers la fonction nulle :
$\boxed{f \equiv 0}$
Étape 2 : Domination. Il s'agit de trouver une fonction $\phi$ intégrable telle que $\forall n \in \mathbb{N}^*, \forall x \in \mathbb{R}_+, |f_n(x)| \le \phi(x)$ . Pour tout $n \ge 1$ et tout $x \ge 0$ , on a $nx \ge 0$ , d'où :
$1 + nx + x^2 \ge 1 + x^2$
En majorant $|\sin(nx)|$ par 1, on obtient :
$\forall n \in \mathbb{N}^*, \forall x \in \mathbb{R}_+, |f_n(x)| \le \frac{1}{1+x^2}$
La fonction $\phi : x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ et intégrable sur $\mathbb{R}_+$ car son intégrale sur $[0, X]$ converge vers $\frac{\pi}{2}$ quand $X \to +\infty$ .
Étape 3 : Application du théorème. Les hypothèses du théorème de convergence dominée étant vérifiées, on peut intervertir limite et intégrale :
$\lim_{n \to +\infty} \int_0^{+\infty} f_n(x) dx = \int_0^{+\infty} 0 dx = 0$
D'où le résultat final :
$\boxed{\lim_{n \to +\infty} I_n = 0}$

Oublier de vérifier ou de mentionner explicitement la fonction dominante intégrable.

Réflexe TCD pour les limites d'intégrales à paramètre discret.