Convergence uniforme et fonctions équi-lipschitziennes

Soit $[a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$ et $k$ un réel strictement positif. On considère une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies de $[a, b]$ dans $\mathbb{C}$ .

On suppose que :

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $f_n$ est $k$ -lipschitzienne sur $[a, b]$ .
La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers une fonction $f$ sur $[a, b]$ .

Démontrer que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $[a, b]$ .

1.

Commencer par justifier que la limite simple $f$ hérite du caractère lipschitzien des $f_n$ .

2.

Pour $\varepsilon > 0$ , utiliser une subdivision du segment $[a, b]$ de pas suffisamment petit pour contrôler les variations des fonctions entre deux points de la subdivision.

3.

Exploiter la convergence simple sur l'ensemble fini des points de la subdivision.

Idées clés

•

Régularité de la limite simple.

•

Utilisation d'un $\varepsilon$ -réseau (subdivision finie) sur un compact.

•

Inégalité triangulaire pour lier convergence simple et uniforme sous condition d'équicontinuité.

Résolution.

Propriété de la limite $f$ . Soient $x, y \in [a, b]$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $|f_n(x) - f_n(y)| \leq k|x-y|$ . En passant à la limite quand $n \to +\infty$ dans cette inégalité, on obtient : $\boxed{|f(x) - f(y)| \leq k|x-y|}$ Ainsi, $f$ est également $k$ -lipschitzienne.
Mise en place de la subdivision. Soit $\varepsilon > 0$ . On choisit un entier $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $\frac{b-a}{p} \leq \frac{\varepsilon}{k}$ . On considère la subdivision régulière $(x_0, x_1, \dots, x_p)$ de $[a, b]$ définie par $x_i = a + i \frac{b-a}{p}$ pour tout $i \in \{0, \dots, p\}$ . Pour chaque $i \in \{0, \dots, p\}$ , la suite numérique $(f_n(x_i))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $f(x_i)$ . Il existe donc un rang $N_i$ tel que pour tout $n \geq N_i$ , $|f_n(x_i) - f(x_i)| \leq \varepsilon$ .
Posons $N = \max(N_0, N_1, \dots, N_p)$ . Alors, pour tout $n \geq N$ et pour tout $i \in \{0, \dots, p\}$ :
$\boxed{\forall i \in \{0, \dots, p\}, |f_n(x_i) - f(x_i)| \leq \varepsilon}$
Majoration uniforme. Soit $x \in [a, b]$ . Il existe un indice $i \in \{0, \dots, p-1\}$ tel que $x \in [x_i, x_{i+1}]$ . On utilise l'inégalité triangulaire : $|f_n(x) - f(x)| \leq |f_n(x) - f_n(x_i)| + |f_n(x_i) - f(x_i)| + |f(x_i) - f(x)|$
D'après le caractère lipschitzien de $f_n$ et $f$ , et puisque $|x - x_i| \leq \frac{b-a}{p} \leq \frac{\varepsilon}{k}$ :
$|f_n(x) - f_n(x_i)| \leq k|x - x_i| \leq \varepsilon$ $|f(x_i) - f(x)| \leq k|x_i - x| \leq \varepsilon$
Ainsi, pour tout $n \geq N$ et pour tout $x \in [a, b]$ :
$|f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon = 3\varepsilon$
Par conséquent, $\|f_n - f\|_{\infty} \leq 3\varepsilon$ pour $n \geq N$ , ce qui prouve que :
$\boxed{f_n \xrightarrow[n \to +\infty]{u} f \text{ sur } [a, b]}$

Oublier de vérifier que la limite f est lipschitzienne.

Equicontinuité + convergence simple sur un compact = convergence uniforme.