Série trigonométrique à coefficients de variation bornée

Soit $(a_n)_{n \geq 0}$ une suite de nombres réels convergeant vers $0$ . On suppose que la série $\sum (a_{n+1} - a_n)$ est absolument convergente.

On considère la série de fonctions définie par :

S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \sin(nx)

Démontrer que pour tout réel $x$ , la série numérique $\sum a_n \sin(nx)$ converge.
Pour $\delta \in ]0, \pi[$ , on pose $I_\delta = [\delta, 2\pi - \delta]$ . Prouver que la série de fonctions converge uniformément sur $I_\delta$ .

1.

Pour la question 1, utiliser la transformation d'Abel en introduisant les sommes partielles de la suite $(\sin(nx))_{n \geq 0}$ .

2.

Distinguer le cas où $x \in 2\pi\mathbb{Z}$ du cas général.

3.

Pour la convergence uniforme, majorer le reste de la série indépendamment de $x$ sur l'intervalle $I_\delta$ en utilisant la majoration uniforme des sommes partielles de sinus.

Idées clés

•

Transformation d'Abel pour les séries de type $\sum a_n b_n$ .

•

Majoration uniforme des sommes de sinus sur des intervalles évitant les multiples de $2\pi$ .

•

Étude du reste pour la convergence uniforme.

Résolution.

Soit $x \in \mathbb{R}$ $x \in R$ . Premier cas : Si $x$ $x$ est un multiple de $2\pi$ $2 π$ , c'est-à-dire $x \in 2\pi\mathbb{Z}$ $x \in 2 π Z$ . Alors pour tout $k \in \mathbb{N}$ $k \in N$ , $\sin(kx) = 0$ $sin (k x) = 0$ . La série $\sum a_k \sin(kx)$ $\sum a_{k} sin (k x)$ est la série nulle, elle converge donc trivialement vers $0$ $0$ . Deuxième cas : Si $x \notin 2\pi\mathbb{Z}$ $x \in / 2 π Z$ . Posons $B_n(x) = \sum_{k=0}^n \sin(kx)$ $B_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} sin (k x)$ . On sait que pour $x \notin 2\pi\mathbb{Z}$ $x \in / 2 π Z$ :
$B_n(x) = \text{Im}\left( \sum_{k=0}^n e^{ikx} \right) = \text{Im}\left( \frac{1 - e^{i(n+1)x}}{1 - e^{ix}} \right)$
En utilisant la technique de l'angle moitié $1 - e^{ix} = e^{ix/2}(-2i\sin(x/2))$ $1 - e^{i x} = e^{i x /2} (- 2 i sin (x /2))$ , on obtient :
$|B_n(x)| \leq \frac{2}{|1 - e^{ix}|} = \frac{1}{|\sin(x/2)|}$
Ainsi, la suite $(B_n(x))_{n \geq 0}$ $(B_{n} (x))_{n \geq 0}$ est bornée par une constante $M_x = \frac{1}{|\sin(x/2)|}$ $M_{x} = \frac{1}{∣ s i n ( x /2 ) ∣}$ . Appliquons la transformation d'Abel à la somme partielle $S_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k \sin(kx)$ $S_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} sin (k x)$ en convenant que $B_{-1}(x) = 0$ $B_{- 1} (x) = 0$ :
$S_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k (B_k(x) - B_{k-1}(x)) = a_n B_n(x) + \sum_{k=0}^{n-1} (a_k - a_{k+1}) B_k(x)$
Analysons la convergence de chaque terme quand $n \to +\infty$ $n \to + \infty$ :
- Comme $a_n \to 0$ et $(B_n(x))$ est bornée, on a $a_n B_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ .
- Pour la série $\sum (a_k - a_{k+1}) B_k(x)$ , on observe que : $|(a_k - a_{k+1}) B_k(x)| \leq |a_k - a_{k+1}| M_x$
Par hypothèse, la série $\sum |a_k - a_{k+1}|$ $\sum ∣ a_{k} - a_{k + 1} ∣$ converge. Par comparaison, la série $\sum (a_k - a_{k+1}) B_k(x)$ $\sum (a_{k} - a_{k + 1}) B_{k} (x)$ est absolument convergente, donc convergente. On en conclut que $S_n(x)$ $S_{n} (x)$ admet une limite finie quand $n \to +\infty$ $n \to + \infty$ .
$\boxed{\text{La série } \sum a_n \sin(nx) \text{ converge pour tout } x \in \mathbb{R}.}$
Soit $\delta \in ]0, \pi[$ et $I_\delta = [\delta, 2\pi - \delta]$ . Pour tout $x \in I_\delta$ , on a $|\sin(x/2)| \geq \sin(\delta/2) > 0$ . Par conséquent, les sommes partielles $B_n(x)$ sont uniformément bornées sur $I_\delta$ : $\forall x \in I_\delta, \forall n \in \mathbb{N}, |B_n(x)| \leq \frac{1}{\sin(\delta/2)} = M_\delta$ Reprenons l'expression du reste $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k \sin(kx)$ . En appliquant la transformation d'Abel (en faisant tendre la borne supérieure vers l'infini dans le calcul précédent) : $R_n(x) = -a_{n+1} B_n(x) + \sum_{k=n+1}^{+\infty} (a_k - a_{k+1}) B_k(x)$ On peut alors majorer le reste uniformément sur $I_\delta$ : $|R_n(x)| \leq |a_{n+1}| |B_n(x)| + \sum_{k=n+1}^{+\infty} |a_k - a_{k+1}| |B_k(x)|$ $|R_n(x)| \leq |a_{n+1}| M_\delta + M_\delta \sum_{k=n+1}^{+\infty} |a_k - a_{k+1}|$ Comme $a_n \to 0$ et que $\sum |a_k - a_{k+1}|$ est le reste d'une série convergente qui tend vers $0$ , la borne supérieure de $|R_n(x)|$ sur $I_\delta$ tend vers $0$ . $\boxed{\text{La série converge uniformément sur tout segment } [\delta, 2\pi - \delta].}$

Confondre convergence simple de la suite des coefficients et variation bornée.

Utiliser la transformation d'Abel pour les séries trigonométriques.