Produit d'Euler et fonction de Liouville

Résolution.

1. Soit $f$ une fonction complètement multiplicative et sommable sur $\mathbb{N}^*$. Remarquons d'abord que $f(1) = f(1 \times 1) = f(1)^2$. Comme $f$ est à valeurs dans $\mathbb{R}^*$, on a nécessairement :
   $$\boxed{f(1) = 1}$$

   Puisque la série est absolument convergente (sommable), nous pouvons utiliser le produit d'Euler. Soit $\mathcal{P}$ l'ensemble des nombres premiers. Pour tout $N \in \mathbb{N}$, notons $P_N$ l'ensemble des $N$ premiers nombres premiers. Par complète multiplicité et sommabilité, on a :

   $$\sum_{n=1}^{+\infty} f(n) = \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( \sum_{k=0}^{+\infty} f(p^k) \right) = \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( \sum_{k=0}^{+\infty} (f(p))^k \right)$$

   La sommabilité de $f$ implique que pour tout $p \in \mathcal{P}$, la série géométrique $\sum (f(p))^k$ converge. Ceci impose que pour tout nombre premier $p$ :

   $$|f(p)| < 1$$

   Ainsi, chaque terme du produit s'écrit :

   $$\sum_{k=0}^{+\infty} (f(p))^k = \frac{1}{1 - f(p)}$$

   Le produit infini converge vers la somme de la série :

   $$\sum_{n=1}^{+\infty} f(n) = \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{1 - f(p)}$$

   Puisque chaque facteur $\frac{1}{1 - f(p)}$ est strictement positif (ou du moins non nul et de même signe si $f(p) < 1$), et que la série $\sum |f(p)|$ converge (car extraite de la série convergente $\sum |f(n)|$), le produit infini converge vers une valeur non nulle. En effet, un produit infini $\prod (1+a_n)$ converge vers une limite non nulle si et seulement si $\sum |a_n|$ converge et aucun facteur n'est nul. Ici $a_p = \frac{1}{1-f(p)} - 1 = \frac{f(p)}{1-f(p)}$.

   $$\boxed{ \sum_{n=1}^{+\infty} f(n) \neq 0 }$$

2. La fonction $\lambda$ est par définition complètement multiplicative. En effet, si $n = \prod p_i^{\alpha_i}$ et $m = \prod p_i^{\beta_i}$, alors $nm = \prod p_i^{\alpha_i + \beta_i}$, et :
   $$\lambda(nm) = (-1)^{\sum (\alpha_i + \beta_i)} = (-1)^{\sum \alpha_i} (-1)^{\sum \beta_i} = \lambda(n)\lambda(m)$$

   Pour $s > 1$, la fonction $n \mapsto \frac{\lambda(n)}{n^s}$ est sommable car $|\frac{\lambda(n)}{n^s}| = \frac{1}{n^s}$. D'après la question précédente, on peut écrire le produit d'Euler :

   $$L(s, \lambda) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\lambda(n)}{n^s} = \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{1 - \frac{\lambda(p)}{p^s}}$$

   Or, pour tout nombre premier $p$, $\lambda(p) = -1$. On obtient donc :

   $$L(s, \lambda) = \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{1 + p^{-s}}$$

   Rappelons l'expression de la fonction $\zeta$ de Riemann pour $s > 1$ :

   $$\zeta(s) = \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{1 - p^{-s}}   \text{et}   \zeta(2s) = \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{1 - p^{-2s}}$$

   En remarquant que $1 - p^{-2s} = (1 - p^{-s})(1 + p^{-s})$, on en déduit :

   $$\frac{1}{1 + p^{-s}} = \frac{1 - p^{-s}}{1 - p^{-2s}}$$

   En passant au produit sur tous les nombres premiers :

   $$L(s, \lambda) = \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1 - p^{-s}}{1 - p^{-2s}} = \frac{\prod_{p \in \mathcal{P}} (1 - p^{-2s})^{-1}}{\prod_{p \in \mathcal{P}} (1 - p^{-s})^{-1}}$$

   On aboutit à la relation fondamentale :

   $$\boxed{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\lambda(n)}{n^s} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} }$$

   Étudions maintenant la limite quand $s \to 1^+$ :

   • $\lim_{s \to 1^+} \zeta(2s) = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ par continuité de $\zeta$ sur $]1, +\infty[$.
   • $\lim_{s \to 1^+} \zeta(s) = +\infty$ (divergence de la série harmonique).

   Par quotient de limites :

   $$\boxed{ \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\lambda(n)}{n^s} = 0 }$$