Étude d'une série de fonctions exponentielles

Résolution.

1. Détermination de l'ensemble de définition $\mathcal{D$_f.} Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $u_n(x) = \frac{e^{-nx}}{1+n^2}$. Cas $x < 0$ : On a $\lim_{n \to +\infty} |u_n(x)| = \lim_{n \to +\infty} \frac{e^{n|x|}}{1+n^2} = +\infty$ par croissance comparée. La série diverge donc grossièrement. Cas $x \ge 0$ : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $|u_n(x)| = \frac{e^{-nx}}{1+n^2} \le \frac{1}{1+n^2}$. Or, la série numérique $\sum \frac{1}{1+n^2}$ converge (comparaison à une série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$). Ainsi, la série $\sum u_n(x)$ converge absolument, donc converge.
   $$\boxed{\mathcal{D}_f = [0, +\infty[}$$

2. Continuité de la fonction $f$. Nous allons montrer la convergence normale de la série de fonctions sur $[0, +\infty[$. Pour tout $x \in [0, +\infty[$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
   $$|u_n(x)| = \frac{e^{-nx}}{1+n^2} \le \frac{1}{1+n^2}$$
   On en déduit que :
   $$\|u_n\|_{\infty, [0, +\infty[} \le \frac{1}{1+n^2}$$
   Comme la série numérique $\sum \frac{1}{1+n^2}$ est convergente, la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur $[0, +\infty[$. Chaque fonction $u_n$ est continue sur $[0, +\infty[$. Par théorème de continuité des séries de fonctions (la convergence normale impliquant la convergence uniforme), la somme $f$ est continue sur $[0, +\infty[$.
   $$\boxed{f \in \mathcal{C}^0([0, +\infty[, \mathbb{R})}$$

3. Limite de $f$ en $+\infty$. Isolons le terme d'indice $n=0$ dans l'expression de $f$ :
   $$f(x) = u_0(x) + \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{1+n^2}$$
   Pour tout $n \ge 1$, $\lim_{x \to +\infty} u_n(x) = 0$. Comme la série converge normalement sur $[0, +\infty[$, nous pouvons appliquer le théorème de la limite terme à terme. On a, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\lim_{x \to +\infty} u_n(x) = \ell_n$ avec :
   $$\ell_0 = 1   \text{et}   \ell_n = 0 \text{ pour } n \ge 1$$
   D'après le théorème de la limite terme à terme :
   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \ell_n = 1 + 0 + 0 + \dots$$
   $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1}$$