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Composition et convergence uniforme

compositionconvergence uniformeHeineuniforme continuitéThéorème de HeineInégalité triangulaire

Soient II et JJ deux intervalles de R\mathbb{R}. On considère une suite de fonctions (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} d'éléments de F(I,J)\mathcal{F}(I, J) convergeant uniformément vers une fonction f:I→Jf: I \to J.

  1. On suppose que g:J→Rg: J \to \mathbb{R} est une fonction uniformément continue sur JJ. Démontrer que la suite (g∘fn)n∈N(g \circ f_n)_{n \in \mathbb{N}} converge uniformément vers g∘fg \circ f sur II.

  2. On suppose maintenant que I=[a,b]I = [a, b] et J=[c,d]J = [c, d] sont des segments. Soit (gn)n∈N(g_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions continues de JJ dans R\mathbb{R} convergeant uniformément vers une fonction gg. Montrer que la suite (gn∘fn)n∈N(g_n \circ f_n)_{n \in \mathbb{N}} converge uniformément vers g∘fg \circ f sur II.

1.

Pour la question 1, traduire la définition de l'uniforme continuité de gg avec un ε>0\varepsilon > 0.

2.

Pour la question 2, utiliser l'inégalité triangulaire en introduisant le terme pivot g(fn(x))g(f_n(x)).

3.

Ne pas oublier que sur un segment, toute fonction continue est uniformément continue (théorème de Heine).

Idées clés

•

Définition de la convergence uniforme par la norme infinie ou les quantificateurs.

•

Théorème de Heine : continuité sur un segment implique l'uniforme continuité.

•

Utilisation d'un terme intermédiaire pour décomposer une différence complexe.

Résolution.

  1. Soit ε>0\varepsilon > 0. Puisque gg est uniformément continue sur JJ, il existe α>0\alpha > 0 tel que :
    ∀(y,y′)∈J2,∣y−y′∣≤α  ⟹  ∣g(y)−g(y′)∣≤ε\forall (y, y') \in J^2,   |y - y'| \leq \alpha \implies |g(y) - g(y')| \leq \varepsilon

    Par hypothèse, (fn)(f_n) converge uniformément vers ff sur II. Pour ce α>0\alpha > 0, il existe un rang N∈NN \in \mathbb{N} tel que :

    ∀n≥N,∀x∈I,∣fn(x)−f(x)∣≤α\forall n \geq N,   \forall x \in I,   |f_n(x) - f(x)| \leq \alpha

    En combinant ces deux propriétés, pour tout n≥Nn \geq N et tout x∈Ix \in I :

    ∣g(fn(x))−g(f(x))∣≤ε|g(f_n(x)) - g(f(x))| \leq \varepsilon

    On en déduit que :

    ∀n≥N,∥g∘fn−g∘f∥∞,I≤ε\boxed{\forall n \geq N,   \|g \circ f_n - g \circ f\|_{\infty, I} \leq \varepsilon}
    Ainsi, (g∘fn)(g \circ f_n) converge uniformément vers g∘fg \circ f sur II.

  2. Pour tout x∈Ix \in I, on décompose la différence par l'inégalité triangulaire :
    ∣gn(fn(x))−g(f(x))∣≤∣gn(fn(x))−g(fn(x))∣+∣g(fn(x))−g(f(x))∣|g_n(f_n(x)) - g(f(x))| \leq |g_n(f_n(x)) - g(f_n(x))| + |g(f_n(x)) - g(f(x))|

    Majorons séparément chaque terme.

    Premier terme : Puisque fn(x)∈Jf_n(x) \in J pour tout x∈Ix \in I, on a :

    ∀x∈I,∣gn(fn(x))−g(fn(x))∣≤∥gn−g∥∞,J\forall x \in I,   |g_n(f_n(x)) - g(f_n(x))| \leq \|g_n - g\|_{\infty, J}
    Comme gn→gg_n \to g uniformément sur JJ, ce terme tend vers 00.

    Second terme : Les fonctions gng_n sont continues et convergent uniformément vers gg. Ainsi, gg est continue sur le segment JJ. D'après le théorème de Heine, gg est uniformément continue sur JJ. D'après la question 1, puisque fn→ff_n \to f uniformément sur II, on a :

    ∥g∘fn−g∘f∥∞,I→n→+∞0\|g \circ f_n - g \circ f\|_{\infty, I} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

    En conclusion :

    ∥gn∘fn−g∘f∥∞,I≤∥gn−g∥∞,J+∥g∘fn−g∘f∥∞,I\|g_n \circ f_n - g \circ f\|_{\infty, I} \leq \|g_n - g\|_{\infty, J} + \|g \circ f_n - g \circ f\|_{\infty, I}
    Les deux termes de droite tendent vers 00 indépendamment de xx.
    gn∘fn→n→+∞CVUg∘f sur I\boxed{g_n \circ f_n \xrightarrow[n \to +\infty]{CVU} g \circ f \text{ sur } I}

La convergence uniforme n'est pas stable par composition simple sans l'uniforme continuité de la fonction extérieure.

La composition conserve la convergence uniforme sur les compacts.