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Produit de suites de fonctions

produitconvergence uniformebornéInégalité triangulaireNorme infinie

Soient (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} et (gn)n∈N(g_n)_{n \in \mathbb{N}} deux suites de fonctions définies sur un intervalle II de R\mathbb{R}. On suppose que (fn)(f_n) converge uniformément vers ff et que (gn)(g_n) converge uniformément vers gg sur II.

On suppose de plus que les fonctions limites ff et gg sont bornées sur II. Démontrer que la suite produit (fngn)n∈N(f_n g_n)_{n \in \mathbb{N}} converge uniformément vers fgfg sur II.

1.

Utiliser l'inégalité triangulaire sur ∣fn(x)gn(x)−f(x)g(x)∣|f_n(x)g_n(x) - f(x)g(x)|.

2.

Montrer d'abord que si fn→CVUff_n \xrightarrow{CVU} f et ff est bornée, alors la suite (fn)(f_n) est uniformément bornée à partir d'un certain rang.

Idées clés

•

Inégalité triangulaire : ∣ac−bd∣≤∣a∣∣c−d∣+∣d∣∣a−b∣|ac - bd| \leq |a||c-d| + |d||a-b|.

•

Une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction bornée est uniformément bornée.

Résolution.

Considérons la différence pour tout x∈Ix \in I :

fn(x)gn(x)−f(x)g(x)=fn(x)(gn(x)−g(x))+g(x)(fn(x)−f(x))f_n(x)g_n(x) - f(x)g(x) = f_n(x)(g_n(x) - g(x)) + g(x)(f_n(x) - f(x))

En passant à la valeur absolue et en utilisant l'inégalité triangulaire :

∣fn(x)gn(x)−f(x)g(x)∣≤∣fn(x)∣⋅∣gn(x)−g(x)∣+∣g(x)∣⋅∣fn(x)−f(x)∣|f_n(x)g_n(x) - f(x)g(x)| \leq |f_n(x)| \cdot |g_n(x) - g(x)| + |g(x)| \cdot |f_n(x) - f(x)|

Puis en passant à la borne supérieure sur II :

∥fngn−fg∥∞≤∥fn∥∞∥gn−g∥∞+∥g∥∞∥fn−f∥∞\|f_n g_n - fg\|_\infty \leq \|f_n\|_\infty \|g_n - g\|_\infty + \|g\|_\infty \|f_n - f\|_\infty

Étudions la borne de ∥fn∥∞\|f_n\|_\infty : Puisque fn→ff_n \to f uniformément, il existe un rang NN tel que pour tout n≥Nn \geq N :

∥fn−f∥∞≤1\|f_n - f\|_\infty \leq 1
Ainsi, pour n≥Nn \geq N :
∥fn∥∞≤∥fn−f∥∞+∥f∥∞≤1+∥f∥∞\|f_n\|_\infty \leq \|f_n - f\|_\infty + \|f\|_\infty \leq 1 + \|f\|_\infty

La suite (∥fn∥∞)(\|f_n\|_\infty) est donc bornée par une constante M=max⁡(∥f0∥∞,…,∥fN−1∥∞,1+∥f∥∞)M = \max(\|f_0\|_\infty, \dots, \|f_{N-1}\|_\infty, 1 + \|f\|_\infty). De même, par hypothèse, gg est bornée, donc ∥g∥∞\|g\|_\infty est une constante.

On a alors :

∥fngn−fg∥∞≤M⋅∥gn−g∥∞+∥g∥∞⋅∥fn−f∥∞\|f_n g_n - fg\|_\infty \leq M \cdot \|g_n - g\|_\infty + \|g\|_\infty \cdot \|f_n - f\|_\infty

Par hypothèse de convergence uniforme de (fn)(f_n) et (gn)(g_n), on a :

lim⁡n→+∞∥gn−g∥∞=0etlim⁡n→+∞∥fn−f∥∞=0\lim_{n \to +\infty} \|g_n - g\|_\infty = 0   \text{et}   \lim_{n \to +\infty} \|f_n - f\|_\infty = 0

Par encadrement, on en conclut :

lim⁡n→+∞∥fngn−fg∥∞=0\boxed{\lim_{n \to +\infty} \|f_n g_n - fg\|_\infty = 0}

L'absence de bornitude peut briser la convergence uniforme du produit.

Le produit de suites de fonctions convergeant uniformément converge uniformément sur tout domaine où les fonctions sont bornées.