Limite de f_n(x_n) et convergence uniforme

Soit $D$ une partie de $\mathbb{R}$ et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $D$ dans $\mathbb{R}$ . On suppose que chaque $f_n$ est continue sur $D$ et que la suite $(f_n)$ converge vers une fonction $f: D \to \mathbb{R}$ . Soit également $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $D$ convergeant vers un point $x \in D$ .

On suppose ici que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $D$ . Démontrer que la suite $(f_n(x_n))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $f(x)$ .
On suppose maintenant que la suite $(f_n)$ converge seulement simplement vers $f$ sur $D$ . Donner un contre-exemple montrant que le résultat précédent peut être mis en défaut, même si $f$ est continue sur $D$ .

1.

Pour la question 1, utiliser l'inégalité triangulaire en intercalant le terme $f(x_n)$ . Exploiter ensuite la convergence uniforme pour contrôler l'écart entre $f_n$ et $f$ , puis la continuité de $f$ (qui découle de la convergence uniforme) pour contrôler l'écart entre $f(x_n)$ et $f(x)$ .

2.

Pour la question 2, on pourra chercher une suite de fonctions $f_n$ présentant une "bosse" glissante qui se déplace vers l'origine tout en gardant une hauteur constante, par exemple avec $D = [0, 1]$ .

Idées clés

•

Inégalité triangulaire : $|f_n(x_n) - f(x)| \leq |f_n(x_n) - f(x_n)| + |f(x_n) - f(x)|$ .

•

Conservation de la continuité par convergence uniforme.

•

Utilisation de la norme de la convergence uniforme $\| \cdot \|_\infty$ .

1. Cas de la convergence uniforme

Soit $\varepsilon > 0$ . Par hypothèse, la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $D$ . D'après le théorème de conservation de la continuité, puisque les $f_n$ sont continues et que la convergence est uniforme, la fonction limite $f$ est continue sur $D$ .

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on utilise l'inégalité triangulaire suivante :

|f_n(x_n) - f(x)| \leq |f_n(x_n) - f(x_n)| + |f(x_n) - f(x)|

Examinons les deux termes séparément :

Premier terme : Par définition de la borne supérieure, on a $|f_n(x_n) - f(x_n)| \leq \|f_n - f\|_\infty$ où $\|f_n - f\|_\infty = \sup_{t \in D} |f_n(t) - f(t)|$ . Puisque $f_n \xrightarrow{CVU} f$ , il existe un rang $N_1 \in \mathbb{N}$ tel que : $\forall n \geq N_1, \|f_n - f\|_\infty \leq \frac{\varepsilon}{2}$ $\boxed{\forall n \geq N_1, |f_n(x_n) - f(x_n)| \leq \frac{\varepsilon}{2}}$
Second terme : La fonction $f$ est continue au point $x$ et la suite $(x_n)$ converge vers $x$ . Par caractérisation séquentielle de la continuité, la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(x)$ . Il existe donc un rang $N_2 \in \mathbb{N}$ tel que : $\boxed{\forall n \geq N_2, |f(x_n) - f(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2}}$

En posant $N = \max(N_1, N_2)$ , on obtient pour tout $n \geq N$ :

|f_n(x_n) - f(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon

On en conclut que :

\boxed{\lim_{n \to \infty} f_n(x_n) = f(x)}

2. Contre-exemple pour la convergence simple

Considérons $D = [0, 1]$ et la suite de fonctions définie par :

\forall x \in [0, 1],   f_n(x) = \frac{nx}{1+n^2x^2}

Analyse des hypothèses :

Chaque $f_n$ est continue sur $[0, 1]$ comme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas.
Pour $x = 0$ , $f_n(0) = 0 \to 0$ .
Pour $x > 0$ , $f_n(x) \sim \frac{nx}{n^2x^2} = \frac{1}{nx} \to 0$ .
La suite $(f_n)$ converge donc simplement vers la fonction nulle $f = 0$ , qui est continue.

Choix de la suite $(x_n)$ : Posons $x_n = \frac{1}{n}$ . On a bien $x_n \to 0$ et $0 \in D$ . Calculons l'image de la suite :

f_n(x_n) = f_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{n \cdot \frac{1}{n}}{1 + n^2 \cdot \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

On constate que :

\boxed{f_n(x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac{1}{2} \neq f(0) = 0}

Le résultat est donc mis en défaut en cas de simple convergence.

Croire que la convergence simple suffit si la limite est continue.

La convergence uniforme permet de contrôler l'écart indépendamment du point x_n.