Étude d'une fonction définie par une série de fractions rationnelles

Résolution.

1. 1. Pour un $x \in \mathbb{R}$ fixé, le terme général $u_n(x) = \frac{(-1)^n}{n!(x+n)}$ est défini si et seulement si $x \notin \{-n, n \in \mathbb{N}\}$. Pour $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}^-$, on a $|u_n(x)| \sim \frac{1}{n \cdot n!}$. La série converge donc absolument pour tout $x$ non entier négatif.
      $$\boxed{\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}^-}$$

   2. Soit $K$ un compact de $\mathcal{D}$. Il existe $M > 0$ tel que pour tout $x \in K$ et tout $n \in \mathbb{N}$, $|x+n| \ge \delta > 0$. Les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathcal{D}$ avec :
      $$u_n^{(k)}(x) = \frac{(-1)^n (-1)^k k!}{n! (x+n)^{k+1}}$$
      Sur le compact $K$, on a la majoration :
      $$\sup_{x \in K} |u_n^{(k)}(x)| \le \frac{k!}{n! \delta^{k+1}}$$
      Le membre de droite est le terme général d'une série convergente (indépendant de $x$). La série des dérivées d'ordre $k$ converge donc normalement sur tout compact de $\mathcal{D}$. D'après le théorème de régularité des séries de fonctions, $g$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathcal{D}$.

2. 1. Par définition :
      $$g(1) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!(n+1)} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)!}$$
      On reconnaît le développement de $e^x$ en $x=-1$, privé de son premier terme ($n=0 \implies 1$) :
      $$\boxed{g(1) = 1 - \frac{1}{e}}$$

   2. Calculons $x g(x)$ pour $x \in \mathcal{D}$ :
      $$x g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x}{n!(x+n)} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n (x+n-n)}{n!(x+n)}$$
      En séparant la somme (ce qui est licite par convergence des séries) :
      $$x g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n (-1)^n}{n!(x+n)}$$
      Le premier bloc vaut $e^{-1}$. Dans le second, on simplifie $n/n! = 1/(n-1)!$ :
      $$x g(x) = \frac{1}{e} - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(n-1)!(x+n)}$$
      En effectuant le changement d'indice $k = n-1$ :
      $$x g(x) = \frac{1}{e} - \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k!(x+k+1)} = \frac{1}{e} + \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k!(x+1+k)}$$
      On reconnaît $g(x+1)$ dans la dernière somme. Ainsi :
      $$\boxed{x g(x) - g(x+1) = \frac{1}{e}}$$

   3. Notons $a_p = g(p)$. On a $a_1 = 1 - e^{-1}$ et $a_{p} = \frac{1}{p} a_{p+1} + \frac{1}{pe}$. Cependant, il est plus simple d'utiliser la relation sous la forme $g(p) = \frac{1}{p-1} g(p-1) + \frac{1}{(p-1)e}$ pour $p \ge 2$. Par récurrence, on montre que $g(p) = \frac{(p-1)!}{e} \left( e - \sum_{k=0}^{p-1} \frac{1}{k!} \right)$. En utilisant $e = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}$, on obtient :
      $$\boxed{g(p) = \frac{(p-1)!}{e} \sum_{k=p}^{+\infty} \frac{1}{k!}}$$

3. 1. Au voisinage de $0^+$, isolons le terme $n=0$ :
      $$g(x) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!(x+n)}$$
      La série restante converge normalement au voisinage de $0$ (somme continue). Sa limite en $0$ est $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n \cdot n!}$, qui est une constante finie. Le terme $1/x$ est donc prédominant.
      $$\boxed{g(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{x}}$$

   2. D'après la relation fonctionnelle, $g(x) = \frac{1}{ex} + \frac{g(x+1)}{x}$. Or, pour $x > 1$, $|g(x)| \le \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n! \cdot 1} = e$. Ainsi, $g(x+1)/x = O(1/x)$. Pour être plus précis, on montre par convergence dominée (sur la forme intégrale ou la série) que $g(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$. Donc $\frac{g(x+1)}{x} = o\left(\frac{1}{x}\right)$.
      $$\boxed{g(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{ex}}$$

4. Soit $x > 0$. On considère l'intégrale $I(x) = \int_{0}^{1} t^{x-1} e^{-t}   dt$. On utilise le développement en série entière $e^{-t} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n t^n}{n!}$. Posons $f_n(t) = \frac{(-1)^n}{n!} t^{n+x-1}$. Pour tout $n$, $f_n$ est intégrable sur $]0, 1]$ car $x+n-1 > -1$. La série $\sum \int_0^1 |f_n(t)| dt = \sum \frac{1}{n!} \int_0^1 t^{n+x-1} dt = \sum \frac{1}{n!(n+x)}$ converge. Par le théorème d'interversion terme à terme pour les intégrales (ou convergence uniforme car on est sur un segment et la série est alternée vérifiant le CSA) :
   $$I(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{1} \frac{(-1)^n}{n!} t^{n+x-1}   dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \left[ \frac{t^{n+x}}{n+x} \right]_0^1$$
   $$\boxed{I(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!(x+n)} = g(x)}$$