Méthode de Newton-Héron fonctionnelle

Soit $x > 0$ . On définit la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ par :

f_0(x) = x   \text{et}   \forall n \in \mathbb{N}, \ f_{n+1}(x) = \frac{1}{2}\left( f_n(x) + \frac{x}{f_n(x)} \right)

Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ .
On pose $g_n(x) = \frac{f_n(x) - \sqrt{x}}{f_n(x) + \sqrt{x}}$ . Exprimer $g_{n+1}$ en fonction de $g_n$ .
En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}^{+*}$ , $|f_n(x) - \sqrt{x}| \le 2\sqrt{x} \left( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \right)^{2^n}$ (pour $x \ge 1$ ).
La convergence est-elle uniforme sur $]0, +\infty[$ ? Sur $[1, a]$ avec $a > 1$ ?

1.

Pour la convergence simple, reconnaître la suite de Héron pour un $x$ fixé.

2.

Pour $g_n$ , calculer $f_{n+1}(x) \pm \sqrt{x}$ et faire le rapport.

3.

Utiliser la croissance de $u \mapsto \frac{u-1}{u+1}$ pour l'étude de l'uniforme.

•

Suite de Newton-Héron pour l'extraction de racine carrée

•

Vitesse de convergence quadratique

•

Transformation homographique pour linéariser l'erreur

Résolution.

Pour $x > 0$ fixé, $f_n(x)$ est la suite de Héron. On montre classiquement que $f_n(x) > 0$ pour tout $n$ et $f_n(x) \ge \sqrt{x}$ pour $n \ge 1$ . La suite est décroissante à partir du rang 1 et converge vers $\sqrt{x}$ , solution positive de $\ell = \frac{1}{2}(\ell + x/\ell)$ . $\boxed{\forall x > 0, \ f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sqrt{x}}$
Calculons : $f_{n+1}(x) - \sqrt{x} = \frac{f_n(x)^2 + x - 2f_n(x)\sqrt{x}}{2f_n(x)} = \frac{(f_n(x) - \sqrt{x})^2}{2f_n(x)}$ $f_{n+1}(x) + \sqrt{x} = \frac{f_n(x)^2 + x + 2f_n(x)\sqrt{x}}{2f_n(x)} = \frac{(f_n(x) + \sqrt{x})^2}{2f_n(x)}$ En faisant le quotient : $\boxed{g_{n+1}(x) = \left( g_n(x) \right)^2}$
Par récurrence, on a $g_n(x) = (g_0(x))^{2^n}$ . Ici $g_0(x) = \frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ . Comme $f_n(x) - \sqrt{x} = g_n(x) (f_n(x) + \sqrt{x})$ , et que pour $n \ge 1$ , $f_n(x) \le f_1(x)$ , on obtient la majoration proposée.
Sur $]0, +\infty[$ , la convergence n'est pas uniforme car $f_n(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty$ tandis que $\sqrt{x}$ croît plus lentement. L'écart n'est pas borné. Sur $[1, a]$ , la fonction $x \mapsto \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ est continue et atteint son maximum $M = \frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1} < 1$ . Ainsi $\sup_{x \in [1, a]} |g_n(x)| \le M^{2^n} \to 0$ . La convergence est uniforme sur tout compact de $\mathbb{R}^{+*}$ .

Uniformité sur les compacts vs R+

Vitesse de convergence quadratique