Suite de fonctions homographiques

Résolution.

1. Fixons $x \ge 0$. Les points fixes de $z \mapsto \frac{x}{2+z}$ sont solutions de $L^2 + 2L - x = 0$. Les racines sont $L_1 = \sqrt{1+x}-1$ and $L_2 = -\sqrt{1+x}-1$. Comme $f_n(x) \ge 0$ pour tout $n$, la seule limite possible est :
   $$\boxed{f_\infty(x) = \sqrt{1+x} - 1}$$

2. À $n$ fixé, $f_n$ est une fonction rationnelle. On remarque que $f_n(x) \sim \sqrt{x}$ quand $x \to +\infty$ est faux. En réalité, $f_n(x)$ se comporte comme une fraction rationnelle. Pour $x$ grand, $f_\infty(x) \sim \sqrt{x}$. $f_0(x) = x$ (non borné). $f_1(x) = \frac{x}{2+x} \to 1$. La différence $|f_1(x) - f_\infty(x)|$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.
   $$\boxed{\text{La convergence n'est pas uniforme sur } \mathbb{R}^+}$$

3. Sur $[0, a]$, utilisons $g_n(x) = \frac{f_n(x) - L_1}{f_n(x) - L_2}$. On montre comme dans l'exercice 2 que $g_{n+1}(x) = g_n(x) \frac{2+L_2}{2+L_1} = g_n(x) \frac{1-\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}}$. Posons $\rho(x) = \left| \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1} \right|$. Sur $[0, a]$, $\rho(x) \le \rho(a) < 1$. Alors $|g_n(x)| \le \rho(a)^n |g_0(x)|$. L'écart $f_n - f_\infty$ est proportionnel à $g_n$, ce qui assure la convergence uniforme sur $[0, a]$.