Opérateur de moyenne et nombres dyadiques

Résolution.

1. La relation de récurrence montre que $f_n$ est une moyenne de $f$ sur des points de plus en plus denses. Par récurrence, pour $n=1$ : $f_1(x) = \frac{1}{2}(f(x/2) + f((x+1)/2))$, la formule est vraie. Si elle est vraie au rang $n$, alors :
   $$f_{n+1}(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{2^n-1} f\left( \frac{x/2+k}{2^n} \right) + \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{2^n-1} f\left( \frac{(x+1)/2+k}{2^n} \right) \right)$$
   $$f_{n+1}(x) = \frac{1}{2^{n+1}} \left( \sum_{k=0}^{2^n-1} f\left( \frac{x+2k}{2^{n+1}} \right) + \sum_{k=0}^{2^n-1} f\left( \frac{x+2k+1}{2^{n+1}} \right) \right)$$
   En regroupant les indices pairs ($2k$) et impairs ($2k+1$), on obtient bien la somme de $0$ à $2^{n+1}-1$.

2. Pour $x$ fixé, $f_n(x)$ est une somme de Riemann pour l'intégrale $\int_0^1 f(t) dt$. Plus précisément, $f_n(x) = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{2^n-1} f(\xi_{k,n})$ avec $\xi_{k,n} \in [\frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n}]$. Ainsi :
   $$\boxed{\forall x \in [0,1], \ f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^1 f(t) dt}$$

3. Soit $I = \int_0^1 f(t) dt$. On a $|f_n(x) - I| = \left| \sum_{k=0}^{2^n-1} \int_{k/2^n}^{(k+1)/2^n} \left( f\left(\frac{x+k}{2^n}\right) - f(t) \right) dt \right|$. Par le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue sur $[0,1]$. Soit $\epsilon > 0$. Il existe $\delta > 0$ tel que $|u-v| \le \delta \implies |f(u)-f(v)| \le \epsilon$. Pour $n$ tel que $1/2^{n-1} \le \delta$, on a pour tout $t \in [k/2^n, (k+1)/2^n]$ :
   $$\left| \frac{x+k}{2^n} - t \right| \le \frac{x}{2^n} + \frac{1}{2^n} \le \frac{2}{2^n} \le \delta$$
   D'où $|f(\frac{x+k}{2^n}) - f(t)| \le \epsilon$. L'intégrale est alors majorée par $\epsilon$. Cela prouve la convergence uniforme.