Point fixe d'un opérateur intégral

Résolution.

1. Si $f_0(x)=1$, alors $f_1(x) = 2 \int_0^x 1   dt = 2x$. $f_2(x) = 2 \int_0^x \sqrt{2t}   dt = 2\sqrt{2} \frac{2}{3} x^{3/2} = \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2}$. Posons $f_n(x) = a_n x^{\alpha_n}$. La relation donne : $a_{n+1} x^{\alpha_{n+1}} = 2 \int_0^x \sqrt{a_n} t^{\alpha_n/2}   dt = 2 \sqrt{a_n} \frac{x^{\alpha_n/2 + 1}}{\alpha_n/2 + 1}$. On a $\alpha_{n+1} = \frac{\alpha_n}{2} + 1$ avec $\alpha_0 = 0$. La limite de $(\alpha_n)$ est 2. De même, $a_{n+1} = \frac{2\sqrt{a_n}}{\alpha_{n+1}}$, dont la limite $L$ vérifie $L = \frac{2\sqrt{L}}{2} = \sqrt{L} \implies L=1$.
2. La suite converge simplement vers $f_\infty(x) = x^2$. Sur tout segment $[0, a]$, la convergence est uniforme car les fonctions sont continues et la convergence des paramètres $(a_n, \alpha_n)$ assure la convergence uniforme des fonctions puissances.

3. Pour $f_0$ quelconque, comme elle est continue et $>0$ sur tout segment $[0, a]$, elle est encadrée par deux constantes $m$ et $M$. Par croissance de l'opérateur intégral $T: f \mapsto 2 \int \sqrt{f}$, on a $T^n(m) \le f_n \le T^n(M)$. Les suites $T^n(m)$ et $T^n(M)$ convergent toutes deux vers $x \mapsto x^2$ par le même calcul qu'à la question 1 (seul $a_0$ change, mais la limite reste 1). Par encadrement, $f_n(x) \to x^2$.