Étude d'une série entière sur le cercle de convergence

Résolution.

1. Convergence uniforme. Pour $x \in ]-1, 1[$, la série converge absolument par comparaison avec une série géométrique. Le problème se situe en $x=1$ (série $\sum \frac{\sin n}{n}$) et $x=-1$ (série $\sum \frac{(-1)^n \sin(-n)}{n} = \sum \frac{\sin n}{n}$). Posons $z = xe^{ix}$. On a $u_n(x) = \text{Im}\left( \frac{z^n}{n} \right)$. La série entière $\sum \frac{z^n}{n}$ a un rayon de convergence $R=1$. D'après le critère d'Abel, pour $z = e^{i\theta}$ avec $\theta \in ]0, 2\pi[$, la série $\sum \frac{e^{in\theta}}{n}$ converge. Ici $\theta = x$. Pour $x \in ]0, 1]$, la convergence est uniforme par le critère d'Abel uniforme (la suite $(1/n)$ est décroissante vers 0 et les sommes partielles de $e^{inx}$ sont uniformément bornées sur tout segment ne contenant pas de multiple de $2\pi$). Ainsi, la série converge uniformément sur $[-1, 1]$. Comme chaque $u_n$ est continue, la somme $f$ est continue sur $[-1, 1]$.

2. Dérivabilité et calcul de $f'$. Sur $]-1, 1[$, $f$ est la partie imaginaire d'une série entière de rayon 1. Elle est donc de classe $\mathcal{C}^\infty$. Pour $x \in ]-1, 1[$, on a :
   $$f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{d}{dx} \left( \frac{x^n \sin(nx)}{n} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( x^{n-1} \sin(nx) + x^n \cos(nx) \right)$$
   En passant au complexe $e^{inx}$ :
   $$f'(x) = \text{Im} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n-1} e^{inx} + i \sum_{n=1}^{+\infty} x^n e^{inx} \right) = \text{Im} \left( e^{ix} \sum_{n=0}^{+\infty} (xe^{ix})^n + i xe^{ix} \sum_{n=0}^{+\infty} (xe^{ix})^n \right)$$
   $$f'(x) = \text{Im} \left( \frac{e^{ix}(1+ix)}{1-xe^{ix}} \right)$$
   Après calculs et simplification (en multipliant par la quantité conjuguée $1-xe^{-ix}$), on obtient :
   $$\boxed{ f'(x) = \frac{\sin x + x - x\cos x}{1 - 2x\cos x + x^2} }$$

3. Expression de $f(x)$. Considérons la série entière $g(z) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^n}{n} = -\ln(1-z)$ pour $|z|<1$. On a $f(x) = \text{Im}(g(xe^{ix})) = -\text{Im}(\ln(1-xe^{ix}))$. Soit $Z = 1 - xe^{ix} = (1-x\cos x) - i(x\sin x)$. L'argument de $Z$ est $\theta$ tel que $\tan \theta = \frac{-x\sin x}{1-x\cos x}$. Comme $\text{Im}(\ln Z) = \text{Arg}(Z)$, on a $f(x) = - \text{Arg}(1-xe^{ix})$.
   $$\boxed{ f(x) = \arctan \left( \frac{x \sin x}{1 - x \cos x} \right) }$$

4. Calcul de la somme $S$. Par continuité de $f$ en 1 :
   $$S = f(1) = \arctan \left( \frac{\sin 1}{1 - \cos 1} \right)$$
   En utilisant $\sin 1 = 2 \sin(1/2) \cos(1/2)$ et $1 - \cos 1 = 2 \sin^2(1/2)$ :
   $$\frac{\sin 1}{1 - \cos 1} = \frac{2 \sin(1/2) \cos(1/2)}{2 \sin^2(1/2)} = \cot(1/2) = \tan\left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \right)$$
   D'où $S = \arctan(\tan(\frac{\pi-1}{2}))$. Comme $\frac{\pi-1}{2} \in ]-\pi/2, \pi/2[$, on en déduit :
   $$\boxed{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin n}{n} = \frac{\pi - 1}{2} }$$