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Défaut de dérivabilité d'une série trigonométrique

Convergence normaleNon-dérivabilitéSérie harmoniqueDécoupage de sommeInégalité de JordanSomme harmonique

On considère la suite de fonctions (un)n≥2(u_n)_{n \geq 2} définies sur R\mathbb{R} par :

un(x)=sin⁡(nx)n(n−1)u_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n(n-1)}
Soit SS la fonction définie par S(x)=∑n=2+∞un(x)S(x) = \sum_{n=2}^{+\infty} u_n(x).

  1. Montrer que la série ∑un\sum u_n converge normalement sur R\mathbb{R}. Que peut-on en déduire pour SS ?
  2. Étudier la parité de SS. Calculer S(0)S(0).
  3. Le but de cette question est de prouver que SS n'est pas dérivable en 0.
    1. Pour N≥2N \geq 2, on pose xN=1Nx_N = \frac{1}{N}. Décomposer la somme S(xN)S(x_N) sous la forme :
      S(xN)=∑n=2Nsin⁡(n/N)n(n−1)+∑n=N+1+∞sin⁡(n/N)n(n−1)S(x_N) = \sum_{n=2}^{N} \frac{\sin(n/N)}{n(n-1)} + \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{\sin(n/N)}{n(n-1)}
    2. En utilisant l'inégalité sin⁡t≥2tπ\sin t \geq \frac{2t}{\pi} sur [0,π/2][0, \pi/2], montrer que :
      ∑n=2Nsin⁡(n/N)n(n−1)≥2πN∑n=1N−11n\sum_{n=2}^{N} \frac{\sin(n/N)}{n(n-1)} \geq \frac{2}{\pi N} \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n}
    3. Montrer que ∣∑n=N+1+∞sin⁡(n/N)n(n−1)∣≤1N\left| \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{\sin(n/N)}{n(n-1)} \right| \leq \frac{1}{N}.
    4. Conclure quant à la limite de S(xN)−S(0)xN\frac{S(x_N) - S(0)}{x_N} quand N→+∞N \to +\infty.

1.

La convergence normale est immédiate par majoration du sinus par 1.

2.

Pour la non-dérivabilité, on cherche à montrer que le taux d'accroissement tend vers l'infini.

3.

Utiliser la minoration classique des sommes partielles de la série harmonique : ∑k=1N1k∼ln⁡N\sum_{k=1}^N \frac{1}{k} \sim \ln N.

4.

Pour la seconde partie de la somme, utiliser une série télescopique : 1n(n−1)=1n−1−1n\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}.

Idées clés

•

Convergence normale   ⟹  \implies continuité.

•

Analyse locale par découpage de la somme (stratégie "troncation").

•

Comparaison série-intégrale ou équivalents de sommes harmoniques.

Résolution.

  1. Convergence et continuité. Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, on a ∣un(x)∣≤1n(n−1)|u_n(x)| \leq \frac{1}{n(n-1)}. Or la série ∑1n(n−1)\sum \frac{1}{n(n-1)} converge (série de Riemann ou téléscopique). Il y a donc convergence normale sur R\mathbb{R}. Puisque chaque unu_n est continue sur R\mathbb{R}, on en déduit que :
    S est continue sur R\boxed{ S \text{ est continue sur } \mathbb{R} }

  2. Parité et valeur en 0. unu_n est impaire pour tout nn, donc SS est impaire. On a immédiatement S(0)=∑0=0S(0) = \sum 0 = \boxed{0}.

  3. Étude de la dérivabilité en 0. On étudie le taux d'accroissement en 0 : τN=S(xN)−S(0)xN=NS(1/N)\tau_N = \frac{S(x_N) - S(0)}{x_N} = N S(1/N).
    1. Découpage. On écrit τN=AN+BN\tau_N = A_N + B_N avec :
      AN=N∑n=2Nsin⁡(n/N)n(n−1)etBN=N∑n=N+1+∞sin⁡(n/N)n(n−1)A_N = N \sum_{n=2}^{N} \frac{\sin(n/N)}{n(n-1)}   \text{et}   B_N = N \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{\sin(n/N)}{n(n-1)}

    2. Minoration de ANA_N. Pour 2≤n≤N2 \leq n \leq N, on a 0<nN≤1<π20 < \frac{n}{N} \leq 1 < \frac{\pi}{2}. On peut donc utiliser sin⁡(n/N)≥2πnN\sin(n/N) \geq \frac{2}{\pi} \frac{n}{N}.
      AN≥N∑n=2N2n/πNn(n−1)=2π∑n=2N1n−1=2π∑k=1N−11kA_N \geq N \sum_{n=2}^{N} \frac{2n/\pi N}{n(n-1)} = \frac{2}{\pi} \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n-1} = \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k}
      On sait que ∑k=1N−11k∼ln⁡N\sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k} \sim \ln N quand N→+∞N \to +\infty.
      AN≥2πln⁡N+o(ln⁡N)\boxed{ A_N \geq \frac{2}{\pi} \ln N + o(\ln N) }

    3. Majoration de BNB_N. En utilisant ∣sin⁡(t)∣≤1|\sin(t)| \leq 1 :
      ∣BN∣≤N∑n=N+1+∞1n(n−1)=N∑n=N+1+∞(1n−1−1n)|B_N| \leq N \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)} = N \sum_{n=N+1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)
      Par téléscopage :
      ∣BN∣≤N(1N)=1\boxed{ |B_N| \leq N \left( \frac{1}{N} \right) = 1 }

    4. Conclusion. On a τN=AN+BN≥2πln⁡N−1\tau_N = A_N + B_N \geq \frac{2}{\pi} \ln N - 1. On en déduit que lim⁡N→+∞τN=+∞\lim_{N \to +\infty} \tau_N = +\infty. Le taux d'accroissement n'admet pas de limite finie en 0, donc :
      S n’est pas deˊrivable en 0\boxed{ S \text{ n'est pas dérivable en 0} }

La divergence de la série des dérivées ne prouve pas à elle seule la non-dérivabilité

Technique du découpage au rang N pour étudier la régularité locale