WikiPrépaLivrets
WikiPrépaMaths

Influence d'un paramètre sur la convergence

paramètreconvergence normalecontinuitésérie de Riemanncomparaison série-intégrale

Soit α∈R\alpha \in \mathbb{R}. Pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, on pose un(x)=nαxe−nxn2+1u_n(x) = \frac{n^\alpha x e^{-nx}}{n^2+1} pour x∈R+x \in \mathbb{R}^+. On note S(x)=∑n=1+∞un(x)S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x).

  1. Montrer que SS est définie sur R+\mathbb{R}^+.
  2. Déterminer les valeurs de α\alpha pour lesquelles ∑un\sum u_n converge normalement sur R+\mathbb{R}^+.
  3. On suppose α⩾2\alpha \geqslant 2.
    1. En étudiant le reste Rn(1/n)=∑k=n+1+∞uk(1/n)R_n(1/n) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(1/n), montrer que la série ne converge pas uniformément sur R+\mathbb{R}^+.
    2. La fonction SS est-elle continue en 00 ?

1.

Pour la convergence normale, calculer ∥un∥∞\|u_n\|_\infty et comparer à une série de Riemann.

2.

Pour α≥2\alpha \geq 2, minorer la somme ∑k=n+12nuk(1/n)\sum_{k=n+1}^{2n} u_k(1/n) pour montrer que le reste ne tend pas vers 00 uniformément.

3.

Utiliser le lien entre convergence uniforme et continuité pour les séries de fonctions positives.

Idées clés

•

Convergence normale   ⟺  \iff série des normes infinies converge.

•

Test du reste en x=1/nx=1/n pour infirmer la convergence uniforme.

•

Pour des fonctions positives, si la somme est continue en un point de la frontière, on peut parfois en déduire des propriétés de convergence.

Résolution.

  1. Si x=0x=0, un(0)=0u_n(0)=0. Si x>0x > 0, par croissances comparées, un(x)=o(1/n2)u_n(x) = o(1/n^2). La série converge simplement sur [0,+∞[[0, +\infty[.

  2. Comme dans l'exercice précédent, unu_n atteint son maximum en x=1/nx=1/n.
    ∥un∥∞=un(1/n)=nα1ne−1n2+1∼e−1n3−α\|u_n\|_\infty = u_n(1/n) = \frac{n^\alpha \frac{1}{n} e^{-1}}{n^2+1} \sim \frac{e^{-1}}{n^{3-\alpha}}
    La série ∑∥un∥∞\sum \|u_n\|_\infty converge si et seulement si 3−α>13-\alpha > 1, soit α<2\alpha < 2.
    Convergence normale sur R+  ⟺  α<2\boxed{\text{Convergence normale sur } \mathbb{R}^+ \iff \alpha < 2}

    1. Soit α⩾2\alpha \geqslant 2. Étudions le reste Rn(x)R_n(x) en x=1/nx = 1/n :
      Rn(1/n)=∑k=n+1+∞kαe−k/nn(k2+1)R_n(1/n) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{k^\alpha e^{-k/n}}{n(k^2+1)}
      Pour k⩾n+1k \geqslant n+1, kαk2+1⩾k2k2+1⩾12\frac{k^\alpha}{k^2+1} \geqslant \frac{k^2}{k^2+1} \geqslant \frac{1}{2} (pour k⩾1k \geqslant 1).
      Rn(1/n)⩾12n∑k=n+1+∞e−k/n=12ne−(n+1)/n1−e−1/nR_n(1/n) \geqslant \frac{1}{2n} \sum_{k=n+1}^{+\infty} e^{-k/n} = \frac{1}{2n} \frac{e^{-(n+1)/n}}{1-e^{-1/n}}
      Or n(1−e−1/n)→1n(1-e^{-1/n}) \to 1 quand n→+∞n \to +\infty et e−(n+1)/n→e−1e^{-(n+1)/n} \to e^{-1}. Donc lim inf⁡Rn(1/n)⩾12e>0\liminf R_n(1/n) \geqslant \frac{1}{2e} > 0. Le reste ne converge pas uniformément vers 00.
      La seˊrie ne converge pas uniformeˊment sur R+ pour α⩾2.\boxed{\text{La série ne converge pas uniformément sur } \mathbb{R}^+ \text{ pour } \alpha \geqslant 2.}

    2. Puisque les unu_n sont des fonctions positives, si SS était continue en 00, on aurait par croissance de la somme partielle : 0⩽Rn(1/n)⩽S(1/n)→n→+∞S(0)=00 \leqslant R_n(1/n) \leqslant S(1/n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S(0) = 0. Ceci contredit le résultat précédent (Rn(1/n)↛0R_n(1/n) \not\to 0).
      S n’est pas continue en 0 pour α⩾2.\boxed{S \text{ n'est pas continue en } 0 \text{ pour } \alpha \geqslant 2.}

Ne pas confondre convergence normale et convergence uniforme.

L'étude du reste en un point mouvant x_n est une méthode classique pour nier la convergence uniforme.