Convergence uniforme et bosse glissante rationnelle

Résolution.

1. Convergence simple : Pour $x = 0$, on a $f_n(0) = 0$ pour tout $n$, donc la suite converge vers 0. Pour $x \neq 0$, on a :
   $$f_n(x) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{2^n x}{n 2^n x^2} = \frac{1}{nx}$$
   Par conséquent, $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0$.
   $$\boxed{ \text{La suite } (f_n) \text{ converge simplement vers la fonction nulle sur } \mathbb{R}. }$$

2. Convergence uniforme sur $\mathbb{R$ :} La fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est :
   $$f_n'(x) = 2^n \frac{(1 + n 2^n x^2) - x(2n 2^n x)}{(1 + n 2^n x^2)^2} = 2^n \frac{1 - n 2^n x^2}{(1 + n 2^n x^2)^2}$$
   La dérivée s'annule en $x_n = \frac{1}{\sqrt{n 2^n}}$ et en $-x_n$. Le maximum de $|f_n|$ est atteint en ces points :
   $$f_n(x_n) = \frac{2^n \frac{1}{\sqrt{n 2^n}}}{1 + n 2^n \frac{1}{n 2^n}} = \frac{1}{2} \frac{2^n}{\sqrt{n} \sqrt{2^n}} = \frac{\sqrt{2^n}}{2\sqrt{n}}$$
   On observe que :
   $$\lim_{n \to +\infty} \| f_n \|_{\infty, \mathbb{R}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{2^n}}{2\sqrt{n}} = +\infty$$
   $$\boxed{ \text{Il n'y a pas convergence uniforme sur } \mathbb{R}. }$$

3. Intervalles de convergence uniforme : Remarquons que $x_n = \frac{1}{\sqrt{n 2^n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. Soit $a > 0$. Pour $n$ assez grand, on a $x_n < a$. D'après le tableau de variations, $f_n$ est décroissante sur $[x_n, +\infty[$. Ainsi, pour $n$ assez grand :
   $$\sup_{x \in [a, +\infty[} |f_n(x)| = f_n(a)$$
   Comme $\lim_{n \to +\infty} f_n(a) = 0$, il y a convergence uniforme sur $[a, +\infty[$. Par parité, il en est de même sur $]-\infty, -a]$. En revanche, tout intervalle contenant 0 dans son adhérence (sauf les singletons) contiendra les points $x_n$ pour $n$ assez grand, empêchant la convergence uniforme.