Convergence uniforme et exposants itérés

Résolution.

1. Convergence simple : Si $x = 1$, $f_n(1) = 4^n(1 - 1) = 0$. Si $x \in [0, 1[$, alors $x^{2^n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. Comme la croissance exponentielle l'emporte sur les puissances (ou par un simple calcul de limite), $f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.
   $$\boxed{ (f_n) \text{ converge simplement vers la fonction nulle sur } [0, 1]. }$$

2. Convergence uniforme sur $[0, 1]$ : Posons $u = x^{2^n}$. Lorsque $x$ parcourt $[0, 1]$, $u$ parcourt aussi $[0, 1]$. L'expression devient :
   $$g_n(u) = 4^n(u - u^2)$$
   La fonction $u \mapsto u - u^2$ atteint son maximum en $u = 1/2$. Ce maximum vaut $1/2 - (1/2)^2 = 1/4$. Ainsi :
   $$\sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x)| = \sup_{u \in [0, 1]} |g_n(u)| = 4^n \cdot \frac{1}{4} = 4^{n-1}$$
   Comme $4^{n-1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ :
   $$\boxed{ \text{La suite } (f_n) \text{ ne converge pas uniformément sur } [0, 1]. }$$

3. Convergence uniforme sur $[0, a]$ : Le maximum est atteint pour $x_n$ tel que $x_n^{2^n} = 1/2$, soit :
   $$x_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{1/2^n} = \exp\left( - \frac{\ln 2}{2^n} \right)$$
   On remarque que $\lim_{n \to +\infty} x_n = 1$. Soit $a \in [0, 1[$. Pour $n$ suffisamment grand, on a $x_n > a$. Puisque $g_n(u)$ est croissante sur $[0, 1/2]$, la fonction $f_n(x)$ est croissante sur $[0, x_n]$. Ainsi, pour $n$ assez grand :
   $$\sup_{x \in [0, a]} |f_n(x)| = f_n(a)$$
   Comme $f_n(a) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ d'après la convergence simple :
   $$\boxed{ \text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément sur tout intervalle } [0, a] \text{ où } a < 1. }$$