Convergence d'une suite à support rétractable

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite de fonctions définies sur $[0, 1]$ par :

f_{n}(x) = \begin{cases} n^2 x(1 - nx) & \text{si } x \in \left[0, \frac{1}{n}\right] 0 & \text{si } x \in \left]\frac{1}{n}, 1\right] \end{cases}

Déterminer la limite simple de la suite $(f_n)$ sur $[0, 1]$ .
Calculer la valeur de l'intégrale $I_n = \int_{0}^{1} f_n(t) \mathrm{d}t$ pour tout $n \ge 1$ .
La suite $(f_n)$ converge-t-elle uniformément sur $[0, 1]$ ? Justifier soigneusement.
Soit $a \in ]0, 1]$ . Étudier la convergence uniforme de la suite $(f_n)$ sur l'intervalle $[a, 1]$ .

1.

Pour la limite simple, fixer $x$ et observer le comportement de $f_n(x)$ lorsque $n$ devient supérieur à $1/x$ .

2.

Pour l'intégrale, effectuer le calcul sur l'intervalle $[0, 1/n]$ où la fonction n'est pas nulle.

3.

Utiliser le lien entre convergence uniforme et passage à la limite sous le signe intégral.

4.

Remarquer qu'à partir d'un certain rang, les fonctions $f_n$ sont identiquement nulles sur $[a, 1]$ .

Idées clés

•

Définition de la convergence simple (fixer $x$ ).

•

Lien $CU \implies$ interversion limite-intégrale sur un segment.

•

Analyse du support $[0, 1/n]$ qui "s'écrase" vers 0.

Résolution.

Convergence simple : Soit $x \in [0, 1]$ . Si $x = 0$ , alors pour tout $n \ge 1$ , $f_n(0) = n^2 \cdot 0 \cdot (1-0) = 0$ . Donc $\lim_{n \to \infty} f_n(0) = 0$ . Si $x \in ]0, 1]$ , il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \ge N$ , on ait $\frac{1}{n} < x$ (il suffit de prendre $N > \frac{1}{x}$ ). Pour de tels $n$ , $x \notin [0, 1/n]$ , donc $f_n(x) = 0$ . Ainsi, la suite numérique $(f_n(x))$ est nulle à partir du rang $N$ . $\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge simplement vers la fonction nulle } f \equiv 0 \text{ sur } [0, 1].}$
Calcul de l'intégrale : Fixons $n \ge 1$ . Par définition de $f_n$ : $I_n = \int_{0}^{1/n} n^2 t (1 - nt) \mathrm{d}t + \int_{1/n}^{1} 0 \mathrm{d}t$ Développons l'expression sous l'intégrale : $I_n = n^2 \int_{0}^{1/n} (t - nt^2) \mathrm{d}t = n^2 \left[ \frac{t^2}{2} - \frac{nt^3}{3} \right]_0^{1/n}$ En évaluant aux bornes : $I_n = n^2 \left( \frac{1}{2n^2} - \frac{n}{3n^3} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ $\boxed{ \forall n \ge 1, I_n = \frac{1}{6} }$
Convergence uniforme sur $[0, 1]$ : Supposons que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle $f$ sur le segment $[0, 1]$ . D'après le théorème de convergence uniforme sur un segment, on devrait avoir : $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_n(t) \mathrm{d}t = \int_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} f_n(t) \mathrm{d}t = \int_{0}^{1} 0 \mathrm{d}t = 0$ Or, nous avons calculé que $\lim_{n \to \infty} I_n = \frac{1}{6} \neq 0$ . Il y a donc une contradiction. $\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ ne converge pas uniformément sur } [0, 1].}$
Convergence uniforme sur $[a, 1]$ : Soit $a > 0$ . Considérons $n_0$ tel que $\frac{1}{n_0} < a$ (soit $n_0 > \frac{1}{a}$ ). Pour tout $n \ge n_0$ et pour tout $x \in [a, 1]$ , on a $x > \frac{1}{n}$ , donc $f_n(x) = 0$ . Ainsi, pour tout $n \ge n_0$ , $\sup_{x \in [a, 1]} |f_n(x) - 0| = 0$ . $\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers } 0 \text{ sur } [a, 1].}$

Confusion entre convergence simple et convergence de l'intégrale.

Le test de l'intégrale pour infirmer la convergence uniforme sur un segment.