Étude d'une série de fonctions hyperboliques

Résolution.

1. Convergence simple. Soit $x \in \mathbb{R}$. Par l'inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction $\tanh$ (dont la dérivée est $t \mapsto 1 - \tanh^2(t)$), on a :
   $$|u_n(x)| = |\tanh(x+n) - \tanh(n)| \leq |x| \cdot \sup_{t \in I_n} |1 - \tanh^2(t)|$$
   où $I_n$ est l'intervalle d'extrémités $n$ et $n+x$. Pour $n$ assez grand, $t \geq n - |x| > 0$, donc :
   $$|1 - \tanh^2(t)| = \frac{1}{\cosh^2(t)} \leq \frac{1}{\cosh^2(n-|x|)} \sim \frac{4}{e^{2(n-|x|)}}$$
   Le terme général est donc dominé par une suite géométrique convergente.
   $$\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ converge simplement sur } \mathbb{R}.}$$

2. Continuité et monotonie. Soit $A > 0$. Pour tout $x \in [-A, A]$, la majoration précédente devient :
   $$|u_n(x)| \leq \frac{A}{\cosh^2(n-A)}$$
   Cette borne supérieure est le terme général d'une série numérique convergente (indépendante de $x$). Il y a donc convergence normale, et a fortiori uniforme, sur tout segment $[-A, A]$. Comme chaque $u_n$ est continue, $S$ est continue sur tout segment, donc sur $\mathbb{R}$. Pour la monotonie, chaque $u_n$ est dérivable et $u_n'(x) = 1 - \tanh^2(x+n) > 0$. Les fonctions $u_n$ sont donc strictement croissantes. Pour $x < y$, on a $u_n(x) < u_n(y)$ pour tout $n$, et par sommation :
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x) < \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(y)$$
   (L'inégalité est stricte car elle l'est dès le premier terme $u_0$).
   $$\boxed{S \text{ est continue et strictement croissante sur } \mathbb{R}.}$$

3. Relation fonctionnelle. Notons $S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} (\tanh(x+n) - \tanh n)$. Alors : \begin{align*} S_N(x+1) - S_N(x) &= \sum_{n=0}^{N} \tanh(x+n+1) - \sum_{n=0}^{N} \tanh(x+n)
   &= \tanh(x+N+1) - \tanh(x)   \text{(par télescopage)} \end{align*} En passant à la limite quand $N \to +\infty$, comme $\lim_{T \to +\infty} \tanh(T) = 1$, on obtient :
   $$\boxed{S(x+1) - S(x) = 1 - \tanh x}$$

4. Série numérique. On a $1 - \tanh n = 1 - \frac{e^n - e^{-n}}{e^n + e^{-n}} = \frac{2e^{-n}}{e^n + e^{-n}} \sim 2e^{-2n}$.
   $$\boxed{\text{La série } \sum (1 - \tanh n) \text{ est une série à termes positifs convergente.}}$$

5. Limite en $+\infty$. Puisque $S$ est croissante, elle admet une limite dans $\mathbb{R} \cup \{+\infty\}$. D'après la question 3, $S(n+1) - S(n) = 1 - \tanh n$. Par sommation télescopique :
   $$S(n) = S(0) + \sum_{k=0}^{n-1} (S(k+1) - S(k)) = 0 + \sum_{k=0}^{n-1} (1 - \tanh k)$$
   La suite $(S(n))$ converge donc vers $\sum_{k=0}^{+\infty} (1 - \tanh k)$. Par croissance de $S$ :
   $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (1 - \tanh n)}$$