Convergence locale et globale de cosinus

Résolution.

1. Convergence simple : Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. On a $\lim_{n \to +\infty} (1 + \frac{1}{n})x = x$. Par continuité de la fonction cosinus en $x$, on en déduit :
   $$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \cos(x)$$
   La suite $(f_n)$ converge donc simplement sur $\mathbb{R}$ vers la fonction $f : x \mapsto \cos(x)$.

2. Étude de la convergence uniforme sur $\mathbb{R$ :} On examine la quantité $|f_n(x) - f(x)|$. En choisissant $x_n = n\pi$, on obtient :
   $$f_n(n\pi) = \cos(n\pi + \pi) = \cos((n+1)\pi) = (-1)^{n+1}$$
   $$f(n\pi) = \cos(n\pi) = (-1)^n$$
   Ainsi :
   $$|f_n(n\pi) - f(n\pi)| = |(-1)^{n+1} - (-1)^n| = |-2(-1)^n| = 2$$
   D'où :
   $$\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| \geq 2$$
   La norme infinie de la différence ne tend pas vers 0.
   $$\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ ne converge pas uniformément sur } \mathbb{R}.}$$

3. Convergence uniforme sur tout segment $[-a, a]$ : Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [-a, a]$, on utilise la formule de transformation :
   $$\cos(p) - \cos(q) = -2 \sin\left(\frac{p+q}{2}\right) \sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$$
   Ici, avec $p = (1+\frac{1}{n})x$ et $q = x$, on a $\frac{p-q}{2} = \frac{x}{2n}$ et $\frac{p+q}{2} = x + \frac{x}{2n}$.
   $$|f_n(x) - f(x)| = 2 \left| \sin\left(x + \frac{x}{2n}\right) \right| \cdot \left| \sin\left(\frac{x}{2n}\right) \right| \leq 2 \left| \sin\left(\frac{x}{2n}\right) \right|$$
   Or, pour tout $u \in \mathbb{R}$, $|\sin u| \leq |u|$. Donc :
   $$|f_n(x) - f(x)| \leq 2 \left| \frac{x}{2n} \right| = \frac{|x|}{n} \leq \frac{a}{n}$$
   Ainsi :
   $$\sup_{x \in [-a, a]} |f_n(x) - f(x)| \leq \frac{a}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
   $$\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers } f \text{ sur tout segment } [-a, a].}$$