Puissance de sinus et convergence uniforme

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite de fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

f_n(x) = \sin^n(x) \cos(x)

Étudier la convergence simple et uniforme de cette suite sur

\mathbb{R}

.

1.

Séparer les cas où $|\sin(x)| < 1$ et $|\sin(x)| = 1$ .

2.

Pour la convergence uniforme, utiliser la dérivée pour trouver le maximum de $|f_n|$ .

Idées clés

•

Pointwise limit d'une puissance $u^n$ selon $|u|<1$ ou $|u|=1$ .

•

Étude des extrema par dérivation pour la norme infinie.

Résolution.

1. Convergence simple :

Si $x \notin \frac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}$ , alors $|\sin(x)| < 1$ . Par conséquent, $\sin^n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ . Comme la fonction cosinus est bornée, $f_n(x) \to 0$ .
Si $x \in \frac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}$ , alors $\cos(x) = 0$ . Donc $f_n(x) = 0$ pour tout $n$ .

La suite

(f_n)

converge donc simplement vers la fonction nulle sur

\mathbb{R}

.

2. Convergence uniforme : Les fonctions $f_n$ sont $2\pi$ -périodiques et impaires (produit d'une fonction impaire élevée à une puissance et d'une fonction paire... attention, cela dépend de la parité de $n$ ). Cependant, $|f_n|$ est $\pi$ -périodique et paire. On peut restreindre l'étude du maximum à $[0, \pi/2]$ . La fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :

f_n'(x) = n \sin^{n-1}(x) \cos^2(x) - \sin^{n+1}(x) = \sin^{n-1}(x) \left( n \cos^2(x) - \sin^2(x) \right)

f_n'(x) = \sin^{n-1}(x) \left( n(1 - \sin^2(x)) - \sin^2(x) \right) = \sin^{n-1}(x) \left( n - (n+1)\sin^2(x) \right)

Sur

]0, \pi/2[

,

f_n'

s'annule pour

\sin^2(x) = \frac{n}{n+1}

. Soit

x_n

tel que

\sin(x_n) = \sqrt{\frac{n}{n+1}}

. Alors

\cos^2(x_n) = 1 - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}

. La valeur maximale de

|f_n|

est :

\|f_n\|_\infty = |f_n(x_n)| = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n/2} \frac{1}{\sqrt{n+1}}

Or

\left( \frac{n}{n+1} \right)^{n/2} = \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n/2} = \exp\left( \frac{n}{2} \ln(1 - \frac{1}{n+1}) \right) \sim \exp(-1/2)

. On en déduit :

\|f_n\|_\infty \sim \frac{e^{-1/2}}{\sqrt{n+1}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers la fonction nulle sur } \mathbb{R}.}

Oublier les points isolés où le cosinus s'annule dans l'étude de la convergence simple.

L'étude des extrema est la méthode standard pour la norme infinie.