Amortissement par un facteur racine

On définit la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ sur $\mathbb{R}_+$ par :

f_n(t) = \begin{cases} \frac{\sin(nt)}{n\sqrt{t}} & \text{si } t > 0 0 & \text{si } t = 0 \end{cases}

Étudier la convergence simple et uniforme de

(f_n)

sur

\mathbb{R}_+

.

1.

Pour la convergence simple, distinguer $t=0$ et $t>0$ .

2.

Pour la convergence uniforme, effectuer le changement de variable $u = nt$ dans l'expression du maximum ou utiliser l'inégalité $|\sin x| \leq |x|$ .

•

Utilisation de $|\sin u| \leq 1$ pour les grandes valeurs.

•

Utilisation de $|\sin u| \leq u$ pour les petites valeurs.

•

Changement de variable pour normaliser l'étude du maximum.

Résolution.

1. Convergence simple :

Pour $t=0$ , $f_n(0) = 0 \to 0$ .
Pour $t > 0$ , $|f_n(t)| \leq \frac{1}{n\sqrt{t}} \to 0$ quand $n \to +\infty$ .

La suite

(f_n)

converge simplement vers la fonction nulle sur

\mathbb{R}_+

.

2. Convergence uniforme : Cherchons à majorer $\|f_n\|_\infty$ . Pour $t > 0$ , posons $u = nt$ . Alors :

f_n(t) = \frac{\sin(u)}{n\sqrt{u/n}} = \frac{\sin(u)}{\sqrt{n}\sqrt{u}}

Posons

g(u) = \frac{\sin u}{\sqrt{u}}

pour

u > 0

.

Au voisinage de $0$ : $g(u) \sim \frac{u}{\sqrt{u}} = \sqrt{u} \to 0$ . La fonction $g$ peut être prolongée par continuité en 0 par $g(0)=0$ .
Au voisinage de $+\infty$ : $|g(u)| \leq \frac{1}{\sqrt{u}} \to 0$ .

La fonction

g

est continue sur

\mathbb{R}_+

et tend vers 0 à l'infini, elle est donc bornée. Soit

M = \sup_{u \in \mathbb{R}_+} |g(u)|

. Alors :

\forall t \in \mathbb{R}_+,   |f_n(t)| = \frac{1}{\sqrt{n}} |g(nt)| \leq \frac{M}{\sqrt{n}}

Comme

\frac{M}{\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

, on conclut :

\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers 0 sur } \mathbb{R}_+.}

Majoration insuffisante au voisinage de zéro.

Une fonction continue tendant vers 0 à l'infini est bornée.