Singularités et étude périodique

Soit la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

f_n(t) = \begin{cases} \frac{\sin^2(nt)}{n \sin t} & \text{si } t \notin \pi\mathbb{Z} 0 & \text{si } t \in \pi\mathbb{Z} \end{cases}

Étudier la convergence simple et uniforme de cette suite sur

\mathbb{R}

.

1.

Étudier la limite de $f_n$ en $t=0$ pour vérifier la continuité.

2.

Exploiter la périodicité pour ramener l'étude de la convergence simple à un intervalle réduit.

3.

Pour la convergence uniforme, tester la suite de points $t_n = \frac{1}{n}$ .

•

Étude locale des fonctions (prolongement par continuité).

•

Analyse de la convergence uniforme par l'évaluation en des points critiques dépendant de $n$ .

Résolution.

1. Convergence simple : Soit $t \in \mathbb{R}$ .

Si $t \in \pi\mathbb{Z}$ , $f_n(t) = 0 \to 0$ .
Si $t \notin \pi\mathbb{Z}$ , $\sin t \neq 0$ . Alors $|f_n(t)| \leq \frac{1}{n |\sin t|} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ .

La suite

(f_n)

converge simplement vers la fonction nulle sur

\mathbb{R}

.

2. Convergence uniforme : Évaluons la fonction en $t_n = \frac{1}{n}$ . Pour $n$ assez grand, $t_n \notin \pi\mathbb{Z}$ .

f_n(t_n) = \frac{\sin^2(n \cdot \frac{1}{n})}{n \sin(1/n)} = \frac{\sin^2(1)}{n \sin(1/n)}

On sait que

n \sin(1/n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1

par équivalent usuel

\sin u \sim u

. D'où :

\lim_{n \to +\infty} f_n(t_n) = \sin^2(1) \neq 0

Puisque la limite simple est la fonction nulle, si la convergence était uniforme, on devrait avoir

f_n(t_n) \to 0

. Ce n'est pas le cas ici.

\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ ne converge pas uniformément sur } \mathbb{R}.}

Négliger l'effet du dénominateur qui s'annule.

Tester $x_n$ tel que l'argument des fonctions trigonométriques soit constant.