Étude d'une série de fonctions rationnelles

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par la relation :

f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + x^2}

Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ et qu'elle y est de classe $\mathcal{C}^1$ .
En utilisant une comparaison avec une intégrale, déterminer un équivalent de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .
On donne les valeurs suivantes : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ . Déterminer le développement limité de $f$ à l'ordre $2$ au voisinage de $0$ .

1.

Pour la régularité, étudier la convergence normale de la série des dérivées sur tout segment de $\mathbb{R}$ .

2.

Pour l'équivalent, encadrer la somme par deux intégrales en exploitant la décroissance de $t \mapsto \frac{1}{t^2+x^2}$ .

3.

Pour le développement limité, on pourra soit utiliser la formule de Taylor-Young (en vérifiant la classe $\mathcal{C}^2$ ), soit effectuer un développement du terme général sous la forme d'une série géométrique.

Idées clés

•

Convergence normale pour la régularité $\mathcal{C}^k$ .

•

Comparaison série-intégrale pour les sommes de Riemann généralisées dépendant d'un paramètre.

•

Utilisation de la parité pour simplifier les développements limités.

Résolution.

Soit $u_n(x) = \frac{1}{n^2 + x^2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$ . Définition : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $u_n(x) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{n^2}$ . Par comparaison à une série de Riemann convergente ( $\alpha = 2 > 1$ ), la série converge simplement. Régularité : Chaque fonction $u_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ . On a : $u_n'(x) = \frac{-2x}{(n^2 + x^2)^2}$ Soit $A > 0$ . Pour tout $x \in [-A, A]$ : $|u_n'(x)| \leq \frac{2A}{n^4}$ La série $\sum \frac{2A}{n^4}$ converge, donc la série de fonctions $\sum u_n'$ converge normalement sur tout segment $[-A, A]$ . Par théorème de dérivation des séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $x > 0$ . La fonction $t \mapsto \frac{1}{t^2 + x^2}$ est continue, positive et décroissante sur $[0, +\infty[$ . Par comparaison série-intégrale, on a : $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + x^2} \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + x^2} \leq \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + x^2}$ Calculons l'intégrale de droite : $\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + x^2} = \left[ \frac{1}{x} \arctan\left(\frac{t}{x}\right) \right]_0^{+\infty} = \frac{\pi}{2x}$ Pour l'intégrale de gauche : $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + x^2} = \frac{\pi}{2x} - \frac{1}{x} \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ Comme $\arctan(1/x) \underset{x \to +\infty}{\to} 0$ , on en déduit par encadrement : $\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{\pi}{2x}}$
La fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ par convergence normale de $\sum u_n''$ sur tout segment (le raisonnement est identique à la question 1). $f$ est paire, donc $f'(0) = 0$ . Le développement de Taylor-Young à l'ordre 2 en 0 est : $f(x) = f(0) + \frac{x^2}{2} f''(0) + o(x^2)$ On calcule les valeurs en 0 : $f(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ $u_n''(x) = \frac{-2(n^2 + x^2)^2 + 2x \cdot 2 \cdot 2x (n^2+x^2)}{(n^2+x^2)^4} \implies u_n''(0) = \frac{-2n^4}{n^8} = -\frac{2}{n^4}$ D'où : $f''(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} -\frac{2}{n^4} = -2 \cdot \frac{\pi^4}{90} = -\frac{\pi^4}{45}$ En injectant dans la formule de Taylor : $\boxed{f(x) = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^4}{90} x^2 + o(x^2)}$

Oubli de la dépendance en x dans l'encadrement intégral ou erreur dans le calcul de la dérivée seconde.

La régularité locale (sur tout segment) suffit pour conclure sur la régularité globale d'une somme de série.