WikiPrépaLivrets
WikiPrépaMaths

Comportement asymptotique d'une série exponentielle

série de fonctionséquivalentcomparaison série-intégraleComparaison intégraleChangement de variableConvergence normale

Soit ff la fonction définie par la série :

f(x)=∑n=1+∞e−xnf(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-x\sqrt{n}}

  1. Déterminer l'ensemble de définition DfD_f de ff.
  2. Étudier la continuité et la monotonie de ff sur son domaine de définition.
  3. Déterminer la limite de ff en +∞+\infty.
  4. On considère la fonction g(x)=∑n=0+∞e−xng(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-x\sqrt{n}}. Déterminer la limite de gg en +∞+\infty.
  5. À l'aide d'une comparaison série-intégrale, obtenir un équivalent de f(x)f(x) quand xx tend vers 0+0^+.

1.

Pour la convergence, comparer e−xne^{-x\sqrt{n}} à un terme de Riemann ou une série géométrique.

2.

Pour la continuité, utiliser la convergence normale sur tout intervalle [a,+∞[[a, +\infty[ avec a>0a > 0.

3.

Pour l'équivalent, encadrer la somme par deux intégrales ∫0+∞e−xtdt\int_0^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}} \mathrm{d}t et effectuer le changement de variable u=xtu = x\sqrt{t}.

Idées clés

•

Convergence normale pour la continuité sur un intervalle ouvert.

•

Théorème de la limite monotone ou interversion limite-somme pour +∞+\infty.

•

Comparaison intégrale pour l'équivalent en 0+0^+ (méthode des rectangles).

Résolution.

  1. Domaine de définition. Soit un(x)=e−xnu_n(x) = e^{-x\sqrt{n}}. Si x≤0x \leq 0, un(x)≥1u_n(x) \geq 1, donc la série diverge grossièrement. Si x>0x > 0, par croissance comparée, n2e−xn→n→+∞0n^2 e^{-x\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. On en déduit que un(x)=o(1n2)u_n(x) = o\left(\frac{1}{n^2}\right), ce qui assure la convergence de la série.
    Df=]0,+∞[\boxed{D_f = ]0, +\infty[}

  2. Continuité et monotonie. Soit a>0a > 0. Pour tout x∈[a,+∞[x \in [a, +\infty[, on a ∣un(x)∣≤e−an|u_n(x)| \leq e^{-a\sqrt{n}}. Comme la série numérique ∑e−an\sum e^{-a\sqrt{n}} converge, la série de fonctions ∑un\sum u_n converge normalement sur [a,+∞[[a, +\infty[. Les fonctions unu_n étant continues, ff est continue sur tout intervalle [a,+∞[[a, +\infty[, donc sur ]0,+∞[]0, +\infty[. Chaque unu_n est strictement décroissante sur ]0,+∞[]0, +\infty[, donc ff est strictement décroissante comme somme de fonctions strictement décroissantes.

  3. Limite en +∞+\infty. Par convergence normale sur [1,+∞[[1, +\infty[, on peut intervertir limite et somme :
    lim⁡x→+∞f(x)=∑n=1+∞lim⁡x→+∞e−xn=∑n=1+∞0=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} e^{-x\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{+\infty} 0 = 0
    lim⁡x→+∞f(x)=0\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}

  4. Cas de la fonction gg. On a g(x)=u0(x)+f(x)=1+f(x)g(x) = u_0(x) + f(x) = 1 + f(x). D'après le résultat précédent :
    lim⁡x→+∞g(x)=1\boxed{\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1}

  5. Équivalent en 0+0^+. La fonction t↦e−xtt \mapsto e^{-x\sqrt{t}} est décroissante sur [0,+∞[[0, +\infty[. Par comparaison série-intégrale :
    ∫1+∞e−xtdt≤∑n=1+∞e−xn≤∫0+∞e−xtdt\int_{1}^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}} \mathrm{d}t \leq \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-x\sqrt{n}} \leq \int_{0}^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}} \mathrm{d}t
    Calculons I(x)=∫0+∞e−xtdtI(x) = \int_{0}^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}} \mathrm{d}t. On pose u=xtu = x\sqrt{t}, soit t=u2x2t = \frac{u^2}{x^2} et dt=2ux2du\mathrm{d}t = \frac{2u}{x^2} \mathrm{d}u.
    I(x)=∫0+∞e−u2ux2du=2x2∫0+∞ue−udu=2x2×Γ(2)=2x2I(x) = \int_{0}^{+\infty} e^{-u} \frac{2u}{x^2} \mathrm{d}u = \frac{2}{x^2} \int_{0}^{+\infty} u e^{-u} \mathrm{d}u = \frac{2}{x^2} \times \Gamma(2) = \frac{2}{x^2}
    Par ailleurs, ∫01e−xtdt≤1\int_{0}^{1} e^{-x\sqrt{t}} \mathrm{d}t \leq 1, donc ∫1+∞=I(x)+O(1)\int_{1}^{+\infty} = I(x) + O(1). Comme I(x)→x→0++∞I(x) \xrightarrow[x \to 0^+]{} +\infty, on en déduit :
    f(x)∼x→0+2x2\boxed{f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{2}{x^2}}

Oubli de la divergence en x=0

Technique de l'équivalent par comparaison série-intégrale