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Étude d'une série rationnelle-exponentielle

série de fonctionsconvergence uniformeéquivalent logarithmiqueLogarithme complexe/réelComparaison de sommesDérivation sous le signe somme

Soit ff définie par :

f(x)=∑n=1+∞e−nxn+xf(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n+x}

  1. Déterminer l'ensemble de définition DfD_f de ff.
  2. Étudier la continuité de ff sur DfD_f. La convergence est-elle uniforme sur DfD_f ?
  3. Montrer que ff est de classe C∞\mathcal{C}^\infty sur DfD_f.
  4. Déterminer un équivalent de f(x)f(x) quand x→+∞x \to +\infty.
  5. Déterminer un équivalent de f(x)f(x) quand x→0+x \to 0^+.
  6. Existe-t-il un intervalle non trivial sur lequel ff coïncide avec une fonction polynomiale ?

1.

Pour la convergence uniforme sur Df=]0,+∞[D_f = ]0, +\infty[, examiner la limite du reste en 0+0^+.

2.

Pour l'équivalent en 0+0^+, comparer f(x)f(x) à ∑e−nxn=−ln⁡(1−e−x)\sum \frac{e^{-nx}}{n} = -\ln(1-e^{-x}).

3.

Pour l'équivalent en +∞+\infty, encadrer par le premier terme et une série géométrique.

4.

Pour la question polynomiale, utiliser le fait que f(x)→+∞f(x) \to +\infty en 00 ou le signe des dérivées.

Idées clés

•

Convergence normale sur [a,+∞[[a, +\infty[ pour la régularité.

•

Comparaison avec une série de fonctions plus simple pour l'équivalent.

•

Lien entre série et logarithme : ∑n=1∞tnn=−ln⁡(1−t)\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n} = -\ln(1-t).

Résolution.

  1. Domaine. Si x≤0x \leq 0, e−nx≥1e^{-nx} \geq 1 et 1n+x∼1n\frac{1}{n+x} \sim \frac{1}{n}, donc la série diverge (série harmonique). Si x>0x > 0, e−nxn+x≤e−nx\frac{e^{-nx}}{n+x} \leq e^{-nx} (série géométrique convergente).
    Df=]0,+∞[\boxed{D_f = ]0, +\infty[}

  2. Continuité et convergence uniforme. La convergence normale sur [a,+∞[[a, +\infty[ est immédiate, assurant la continuité. Cependant, ∥un∥∞=un(0)=1/n\|u_n\|_\infty = u_n(0) = 1/n. Comme ∑1/n\sum 1/n diverge, il n'y a pas convergence normale sur ]0,+∞[]0, +\infty[. Pour la convergence uniforme, remarquons que pour m>nm > n :
    ∑k=n+1muk(x)→x→0+∑k=n+1m1k\sum_{k=n+1}^m u_k(x) \xrightarrow[x \to 0^+]{} \sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k}
    En prenant mm assez grand, cette somme peut être arbitrairement grande. Le reste Rn(x)R_n(x) n'est donc pas borné sur ]0,+∞[]0, +\infty[.
    Pas de convergence uniforme sur ]0,+∞[\boxed{\text{Pas de convergence uniforme sur } ]0, +\infty[}

  3. Classe C∞\mathcal{C^\infty.} Par dérivation terme à terme, un(p)(x)u_n^{(p)}(x) fait intervenir des termes en nke−nxn^k e^{-nx}. Pour tout segment [a,b]⊂]0,+∞[[a, b] \subset ]0, +\infty[, la série des dérivées converge normalement grâce à l'exponentielle décroissante.
    f∈C∞(]0,+∞[)\boxed{f \in \mathcal{C}^\infty(]0, +\infty[)}

  4. Équivalent en +∞+\infty. Pour x→+∞x \to +\infty, u1(x)=e−x1+x∼e−xxu_1(x) = \frac{e^{-x}}{1+x} \sim \frac{e^{-x}}{x}. Le reste est ∑n=2∞e−nxn+x≤1x∑n=2∞(e−x)n=e−2xx(1−e−x)=o(e−xx)\sum_{n=2}^\infty \frac{e^{-nx}}{n+x} \leq \frac{1}{x} \sum_{n=2}^\infty (e^{-x})^n = \frac{e^{-2x}}{x(1-e^{-x})} = o\left(\frac{e^{-x}}{x}\right).
    f(x)∼x→+∞e−xx\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{e^{-x}}{x}}

  5. Équivalent en 0+0^+. On compare f(x)f(x) à L(x)=∑n=1+∞e−nxn=−ln⁡(1−e−x)L(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n} = -\ln(1-e^{-x}).
    ∣f(x)−L(x)∣=∑n=1+∞∣1n+x−1n∣e−nx=∑n=1+∞xe−nxn(n+x)≤∑n=1+∞1n(n+1)=1|f(x) - L(x)| = \sum_{n=1}^{+\infty} \left| \frac{1}{n+x} - \frac{1}{n} \right| e^{-nx} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x e^{-nx}}{n(n+x)} \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1
    Donc f(x)=−ln⁡(1−e−x)+O(1)f(x) = -\ln(1-e^{-x}) + O(1). Or −ln⁡(1−e−x)∼−ln⁡(x)-\ln(1-e^{-x}) \sim -\ln(x).
    f(x)∼x→0+−ln⁡x\boxed{f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} -\ln x}

  6. Caractère polynomial. Si ff était polynomiale sur un intervalle II, elle aurait une limite finie en 00 (si II s'en approche). Or f(x)→x→0++∞f(x) \xrightarrow[x \to 0^+]{} +\infty. Plus rigoureusement, les dérivées de unu_n gardent un signe constant à partir d'un certain rang, interdisant à f(p)f^{(p)} de s'annuler sur un intervalle.
    Aucun intervalle possible\boxed{\text{Aucun intervalle possible}}

Affirmer la convergence uniforme sur l'ouvert ]0, +inf[

L'équivalent d'une somme peut se déduire de la comparaison avec une série de référence