Topologie de l'adhérence, de l'intérieur et sommes de Minkowski

Soit $E$ un espace vectoriel normé (typiquement $\mathbb{R}^n$ ). Pour toute partie $X$ de $E$ , on note $\mathring{X}$ son intérieur et $\bar{X}$ son adhérence. Pour deux parties $A$ et $B$ de $E$ , on définit la somme de Minkowski par $A+B = \{a+b \mid a \in A, b \in B\}$ .

Propriétés de l'intérieur :
1. Montrer que $\mathring{A} = A$ si et seulement si $A$ est un ouvert.
2. Montrer que si $A \subset B$ , alors $\mathring{A} \subset \mathring{B}$ .
3. Établir l'égalité $\mathring{A} \cap \mathring{B} = \overbrace{A \cap B}^{\circ}$ et l'inclusion $\mathring{A} \cup \mathring{B} \subset \overbrace{A \cup B}^{\circ}$ .
4. Fournir un contre-exemple pour l'inclusion réciproque de la question précédente.
Propriétés de l'adhérence :
1. Démontrer l'inclusion $\overline{A \cap B} \subset \bar{A} \cap \bar{B}$ et l'égalité $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cup \bar{B}$ .
2. Donner un exemple où l'inclusion $\overline{A \cap B} \subset \bar{A} \cap \bar{B}$ est stricte.
Somme de Minkowski :
1. Si $A$ est une partie quelconque et $B$ est un ouvert, montrer que $A+B$ est un ouvert.
2. Si $A$ est un compact et $B$ un fermé de $E$ , montrer que $A+B$ est un fermé. On pourra utiliser des suites.
3. Exhiber un contre-exemple montrant que la somme de deux fermés n'est pas nécessairement un fermé.

1.

Pour l'intérieur, utiliser le fait que $\mathring{X}$ est le plus grand ouvert contenu dans $X$ .

2.

Pour l'adhérence, utiliser le fait que $\bar{X}$ est le plus petit fermé contenant $X$ .

3.

Pour la question 3(a), exprimer $A+B$ comme une réunion de translatés de $B$ .

4.

Pour la question 3(b), utiliser la propriété de Bolzano-Weierstrass (ou l'extraction de sous-suites convergentes) dans le compact $A$ .

5.

Pour 3(c), chercher des parties dans $\mathbb{R}$ comme $\mathbb{Z}$ et $\alpha \mathbb{Z}$ avec $\alpha$ irrationnel, ou dans $\mathbb{R}^2$ avec une hyperbole et son asymptote.

Idées clés

•

Définition de l'intérieur comme réunion d'ouverts et de l'adhérence comme intersection de fermés.

•

Stabilité de la structure d'ouvert par réunion quelconque et de celle de fermé par intersection quelconque.

•

Caractérisation séquentielle de la compacité (propriété de Borel-Lebesgue en dimension finie).

Résolution.

Propriétés de l'intérieur :
1. L'intérieur $\mathring{A}$ est défini comme le plus grand ouvert contenu dans $A$ . Si $\mathring{A} = A$ , alors $A$ est égal à un ouvert, donc $A$ est ouvert. Réciproquement, si $A$ est ouvert, comme $A \subset A$ , $A$ est lui-même le plus grand ouvert contenu dans $A$ , d'où $\mathring{A} = A$ . $\boxed{\mathring{A} = A \iff A \text{ est un ouvert}}$
2. Soit $A \subset B$ . $\mathring{A}$ est un ouvert contenu dans $A$ . Puisque $A \subset B$ , $\mathring{A}$ est un ouvert contenu dans $B$ . Par définition de $\mathring{B}$ comme le plus grand ouvert contenu dans $B$ , on a nécessairement : $\boxed{\mathring{A} \subset \mathring{B}}$
3. L'ensemble $\mathring{A} \cap \mathring{B}$ est une intersection de deux ouverts, c'est donc un ouvert. De plus, $\mathring{A} \subset A$ et $\mathring{B} \subset B$ , donc $\mathring{A} \cap \mathring{B} \subset A \cap B$ . Par définition de l'intérieur, $\mathring{A} \cap \mathring{B} \subset \overbrace{A \cap B}^{\circ}$ . Inversement, $A \cap B \subset A$ donc $\overbrace{A \cap B}^{\circ} \subset \mathring{A}$ d'après la question (b). De même $\overbrace{A \cap B}^{\circ} \subset \mathring{B}$ . D'où $\overbrace{A \cap B}^{\circ} \subset \mathring{A} \cap \mathring{B}$ , ce qui prouve l'égalité : $\boxed{\mathring{A} \cap \mathring{B} = \overbrace{A \cap B}^{\circ}}$
  Pour l'union, $\mathring{A} \subset A \subset A \cup B$ donc $\mathring{A} \subset \overbrace{A \cup B}^{\circ}$ . De même pour $B$ . Par réunion, on obtient :
  $\boxed{\mathring{A} \cup \mathring{B} \subset \overbrace{A \cup B}^{\circ}}$
4. Considérons dans $\mathbb{R}$ les parties $A = [0, 1]$ et $B = [1, 2]$ . On a $\mathring{A} = ]0, 1[$ et $\mathring{B} = ]1, 2[$ . D'une part, $\mathring{A} \cup \mathring{B} = ]0, 1[ \cup ]1, 2[ = ]0, 2[ \setminus \{1\}$ . D'autre part, $A \cup B = [0, 2]$ , donc $\overbrace{A \cup B}^{\circ} = ]0, 2[$ . Le point $\{1\}$ appartient à l'intérieur de l'union mais pas à l'union des intérieurs.
Propriétés de l'adhérence :
1. L'adhérence $\bar{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$ . $\bar{A} \cap \bar{B}$ est un fermé (intersection de deux fermés) contenant $A \cap B$ . Par minimalité de l'adhérence de l'intersection, on a : $\boxed{\overline{A \cap B} \subset \bar{A} \cap \bar{B}}$
  Pour l'union, $\bar{A} \cup \bar{B}$ est un fermé contenant $A \cup B$ , donc $\overline{A \cup B} \subset \bar{A} \cup \bar{B}$ . Réciproquement, $A \subset A \cup B$ implique $\bar{A} \subset \overline{A \cup B}$ , et de même pour $B$ . En réunissant, on obtient l'inclusion inverse :
  $\boxed{\overline{A \cup B} = \bar{A} \cup \bar{B}}$
2. Prenons $A = \mathbb{Q}$ et $B = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ . Alors $A \cap B = \emptyset$ , donc $\overline{A \cap B} = \emptyset$ . Cependant, $\bar{A} = \mathbb{R}$ et $\bar{B} = \mathbb{R}$ , donc $\bar{A} \cap \bar{B} = \mathbb{R}$ .
Somme de Minkowski :
1. On peut écrire la somme comme une réunion : $A+B = \bigcup_{a \in A} \{a+B\}$ où $a+B = \{a+b \mid b \in B\}$ est le translaté de $B$ par le vecteur $a$ . L'application $x \mapsto a+x$ est un homéomorphisme (translation), donc si $B$ est ouvert, chaque $a+B$ est un ouvert. Une réunion quelconque d'ouverts étant un ouvert, on conclut que : $\boxed{A+B \text{ est ouvert}}$
2. Soit $(c_n)$ une suite d'éléments de $A+B$ convergeant vers $c \in E$ . Par définition, pour tout $n$ , il existe $a_n \in A$ et $b_n \in B$ tels que $c_n = a_n + b_n$ . Puisque $A$ est compact, on peut extraire de $(a_n)$ une sous-suite $(a_{\phi(n)})$ qui converge vers un certain $a \in A$ . Alors, $b_{\phi(n)} = c_{\phi(n)} - a_{\phi(n)}$ converge vers $b = c - a$ . Comme $B$ est fermé et que tous les $b_{\phi(n)}$ sont dans $B$ , la limite $b$ appartient à $B$ . Finalement, $c = a + b$ avec $a \in A$ et $b \in B$ , donc $c \in A+B$ . L'ensemble $A+B$ contient ses valeurs d'adhérence, il est donc fermé. $\boxed{A \text{ compact}, B \text{ fermé} \implies A+B \text{ fermé}}$
3. Dans $\mathbb{R}^2$ , considérons les fermés suivants : $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 1 \text{ et } x > 0\}$ (branche d'hyperbole). $B = \{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\}$ (axe des abscisses). Cherchons si $(0, 0) \in A+B$ . Cela imposerait l'existence de $(x, 1/x) \in A$ et $(x', 0) \in B$ tels que $(x+x', 1/x) = (0,0)$ , d'où $1/x = 0$ , ce qui est impossible. Pourtant, la suite $c_n = (n, 1/n) + (-n, 0) = (0, 1/n)$ appartient à $A+B$ et converge vers $(0,0)$ . Le point limite n'étant pas dans l'ensemble, $A+B$ n'est pas fermé.

L'erreur classique est de penser que la somme de deux fermés est fermée sans hypothèse de compacité supplémentaire.

La somme d'un ouvert et d'une partie quelconque est ouverte. La somme d'un compact et d'un fermé est fermée.