Normes de régularité sur les fonctions de classe C1

Soit $E = \mathcal{C}^1([0, 1], \mathbb{R})$ . Pour $f \in E$ , on définit les trois applications suivantes :

N_1(f) = |f(0)| + \|f'\|_\infty,   N_2(f) = \sqrt{f(0)^2 + \int_0^1 (f'(t))^2   dt},   N_3(f) = \|f\|_\infty + \omega(f)

où

\| \cdot \|_\infty

désigne la norme du supremum sur

[0,1]

et

\omega(f) = \sup_{x \neq y} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}

.

Montrer que $N_1$ est une norme sur $E$ . Est-elle équivalente à $\|\cdot\|_\infty$ ?
Vérifier que $N_2$ définit une norme euclidienne. Établir que pour tout $f \in E$ , $\|f\|_\infty \leq \sqrt{2} N_2(f)$ . Les normes $N_2$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont-elles équivalentes ?
On considère désormais l'espace des fonctions Lipschitziennes sur $[0,1]$ . Pour $a \in [0,1]$ , on pose $N_a(f) = |f(a)| + \omega(f)$ . Montrer que pour tout $(a,b) \in [0,1]^2$ , les normes $N_a$ et $N_b$ sont équivalentes.

1.

Pour $N_1$ , utiliser le théorème fondamental de l'analyse pour relier $f$ à sa dérivée. Pour la non-équivalence, tester $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n}$ .

2.

Pour l'inégalité $\|f\|_\infty \leq \sqrt{2} N_2(f)$ , écrire $f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t) dt$ et utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que $(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$ .

3.

Pour l'équivalence de $N_a$ et $N_b$ , utiliser l'inégalité $|f(a)| \leq |f(a)-f(b)| + |f(b)|$ et la définition de $\omega(f)$ .

Idées clés

•

Théorème fondamental de l'analyse : $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) dt$ .

•

Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les fonctions.

•

Utilisation de suites de fonctions oscillantes pour infirmer l'équivalence de normes impliquant la dérivée.

Résolution.

Étude de $N_1$ : L'homogénéité et l'inégalité triangulaire découlent de celles de la valeur absolue et de la norme $\|\cdot\|_\infty$ . Si $N_1(f) = 0$ , alors $f(0) = 0$ et $\|f'\|_\infty = 0$ . La condition $\|f'\|_\infty = 0$ implique que $f$ est constante sur $[0,1]$ . Puisque $f(0) = 0$ , cette constante est nulle, d'où $f=0$ . Ainsi, $N_1$ est une norme. Considérons $f_n(x) = \frac{1}{n} \sin(nx)$ . On a $\|f_n\|_\infty = \frac{1}{n} \to 0$ . Cependant, $N_1(f_n) = |0| + \|\cos(n \cdot)\|_\infty = 1$ . La suite $(f_n)$ converge vers 0 pour $\|\cdot\|_\infty$ mais pas pour $N_1$ . $\boxed{\text{Les normes } N_1 \text{ et } \|\cdot\|_\infty \text{ ne sont pas équivalentes.}}$
Étude de $N_2$ : $N_2$ est associée au produit scalaire $\langle f, g \rangle = f(0)g(0) + \int_0^1 f'(t)g'(t) dt$ . Pour tout $x \in [0,1]$ , on a par le théorème fondamental de l'analyse : $f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t) dt$ En utilisant l'inégalité $(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$ , on obtient : $f(x)^2 \leq 2 \left( f(0)^2 + \left( \int_0^x f'(t) dt \right)^2 \right)$ D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à $1$ et $f'$ : $\left( \int_0^x 1 \cdot f'(t) dt \right)^2 \leq \left( \int_0^x 1^2 dt \right) \left( \int_0^x f'(t)^2 dt \right) \leq 1 \cdot \int_0^1 f'(t)^2 dt$ En combinant ces résultats : $f(x)^2 \leq 2 \left( f(0)^2 + \int_0^1 f'(t)^2 dt \right) = 2 N_2(f)^2$ $\boxed{\forall f \in E, \ \|f\|_\infty \leq \sqrt{2} N_2(f)}$ Pour la non-équivalence, prenons $g_n(x) = x^n$ . On a $\|g_n\|_\infty = 1$ . $N_2(g_n)^2 = 0^2 + \int_0^1 (nx^{n-1})^2 dt = n^2 \int_0^1 x^{2n-2} dt = \frac{n^2}{2n-1}$ . $N_2(g_n) \sim \sqrt{n/2} \to +\infty$ , donc les normes ne sont pas équivalentes.
Équivalence de $N_a$ et $N_b$ : On a $|f(a)| \leq |f(a) - f(b)| + |f(b)|$ . Par définition de la constante de Lipschitz $\omega(f)$ , $|f(a) - f(b)| \leq \omega(f) |a-b| \leq \omega(f)$ car $a,b \in [0,1]$ . Ainsi, $|f(a)| \leq |f(b)| + \omega(f)$ , ce qui donne : $N_a(f) = |f(a)| + \omega(f) \leq |f(b)| + 2\omega(f) \leq 2 (|f(b)| + \omega(f)) = 2 N_b(f)$ Par symétrie, $N_b(f) \leq 2 N_a(f)$ . $\boxed{N_a \text{ et } N_b \text{ sont équivalentes.}}$

Vérifier soigneusement l'axiome de séparation.

La norme infinie est contrôlée par la norme de la dérivée sur un segment.