Méthode de Richardson et accélération

On considère l'opérateur $\Delta$ défini sur l'espace des fonctions par $\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$ .

Soit $R = \frac{P}{Q}$ une fraction rationnelle réelle avec $Q \neq 0$ . On définit son degré par $\deg R = \deg P - \deg Q$ . Montrer que si $R$ n'est pas nulle, alors $\deg(\Delta R) \le \deg R - 1$ .
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ $(u_{n})_{n \in N}$ une suite réelle convergeant vers une limite $l$ $l$ . On suppose qu'il existe des réels $a_1, \dots, a_{p+1}$ $a_{1}, \dots, a_{p + 1}$ tels que :
$u_n = l + \frac{a_1}{n} + \frac{a_2}{n^2} + \dots + \frac{a_p}{n^p} + \frac{a_{p+1}}{n^{p+1}} + o\left(\frac{1}{n^{p+1}}\right)$
On souhaite construire une suite $(v_n)$ $(v_{n})$ convergeant vers $l$ $l$ plus rapidement que $(u_n)$ $(u_{n})$ .
1. On pose $f(n) = n^p u_n$ . Montrer que $f(n)$ peut s'écrire sous la forme $Q(n) + R(n) + \epsilon_n$ , où $Q$ est un polynôme de degré $p$ , $R$ une fraction rationnelle de degré $-1$ , et $\epsilon_n = o(n^{-1})$ .
2. En utilisant les propriétés de l'opérateur $\Delta^p$ , montrer que : $\Delta^p f(n) = p! \cdot l + O\left(\frac{1}{n^{p+1}}\right)$ (On admettra que $\Delta^p \epsilon_n$ conserve le caractère négligeable).
3. En déduire que la suite $(v_n)$ définie par : $v_n = \frac{1}{p!} \sum_{k=0}^p (-1)^{p-k} \binom{p}{k} (n+k)^p u_{n+k}$ vérifie $v_n = l + O\left(\frac{1}{n^{p+1}}\right)$ .

1.

Pour la question 1, écrire $\Delta R(x) = \frac{P(x+1)Q(x) - P(x)Q(x+1)}{Q(x)Q(x+1)}$ et analyser le degré du numérateur en remarquant que les termes de plus haut degré s'annulent.

2.

Pour 2.(a), multiplier le développement asymptotique de $u_n$ par $n^p$ .

3.

Pour 2.(b), utiliser le résultat de l'exercice précédent : $\Delta^p Q = p! \times (\text{coefficient dominant de } Q)$ .

Idées clés

•

Propriété de réduction de degré de l'opérateur de différence $\Delta$ .

•

Linéarité de $\Delta^p$ et action sur les parties régulières et singulières d'un développement.

•

Accélération de convergence par élimination des termes dominants de l'erreur.

Résolution.

Soit $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ . On calcule la différence : $\Delta R(x) = \frac{P(x+1)}{Q(x+1)} - \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x+1)Q(x) - P(x)Q(x+1)}{Q(x)Q(x+1)}$ Notons $d_P = \deg P$ et $d_Q = \deg Q$ . Le dénominateur est un polynôme de degré $2d_Q$ . Pour le numérateur, si $P(x) = a x^{d_P} + \dots$ et $Q(x) = b x^{d_Q} + \dots$ , le terme en $x^{d_P+d_Q}$ est : $a(x+1)^{d_P} \cdot b x^{d_Q} - a x^{d_P} \cdot b (x+1)^{d_Q} = ab x^{d_P+d_Q} - ab x^{d_P+d_Q} + \text{termes inférieurs}$ . Le degré du numérateur est donc au plus $d_P + d_Q - 1$ . Ainsi, $\deg(\Delta R) \le (d_P + d_Q - 1) - 2d_Q = d_P - d_Q - 1 = \deg R - 1$ . $\boxed{\deg(\Delta R) \le \deg R - 1}$
1. Multiplions le développement de $u_n$ par $n^p$ : $n^p u_n = l n^p + a_1 n^{p-1} + \dots + a_p + \frac{a_{p+1}}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$ On pose $Q(n) = l n^p + a_1 n^{p-1} + \dots + a_p$ , qui est un polynôme de degré $p$ . On pose $R(n) = \frac{a_{p+1}}{n}$ , qui est une fraction rationnelle de degré $-1$ . Le reste $\epsilon_n$ est $o(1/n)$ .
2. Par linéarité, $\Delta^p f(n) = \Delta^p Q(n) + \Delta^p R(n) + \Delta^p \epsilon_n$ . D'après l'étude des polynômes, $\Delta^p Q$ est une constante égale à $p!$ fois le coefficient dominant de $Q$ . Ici, ce coefficient est $l$ . Donc : $\Delta^p Q(n) = p! \cdot l$ D'après la question 1, chaque application de $\Delta$ réduit le degré de la fraction rationnelle d'au moins 1. $\deg R = -1 \implies \deg \Delta^p R \le -1 - p$ . Ainsi, $\Delta^p R(n) = O(n^{-(p+1)})$ . Le terme d'erreur suit la même logique. $\boxed{\Delta^p f(n) = p! \cdot l + O\left(\frac{1}{n^{p+1}}\right)}$
3. En utilisant la formule explicite de $\Delta^p$ : $\Delta^p f(n) = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} (-1)^{p-k} f(n+k) = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} (-1)^{p-k} (n+k)^p u_{n+k}$ D'après (b), en divisant par $p!$ : $\frac{1}{p!} \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} (-1)^{p-k} (n+k)^p u_{n+k} = l + O\left(\frac{1}{n^{p+1}}\right)$ C'est exactement la définition de $v_n$ . $\boxed{v_n = l + O\left(\frac{1}{n^{p+1}}\right)}$

Bien distinguer l'action de delta sur les polynômes (partie régulière) et sur les fractions rationnelles (partie reste).

L'extrapolation de Richardson est un outil puissant pour accélérer la convergence d'une suite dont on connaît la forme du développement asymptotique.