Nature d'une série à deux paramètres

Soient $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2}$ . On s'intéresse à la série de terme général :

u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{\alpha}+(-1)^{n} n^{\beta}}

Déterminer le domaine des couples $(\alpha, \beta)$ pour lesquels la suite $(u_n)$ est bien définie pour $n$ assez grand.
Étudier la nature de la série $\sum u_n$ en discutant selon les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ .

1.

Commencer par le cas $\alpha = \beta$ .

2.

Si $\alpha \neq \beta$ , déterminer un équivalent simple de $u_n$ pour traiter les cas de divergence grossière ou d'absolue convergence.

3.

Dans le cas où il y a convergence du terme général sans absolue convergence, effectuer un développement asymptotique de $u_n$ à une précision suffisante pour isoler une série alternée et une série à termes positifs.

Idées clés

•

Étude de la divergence grossière (limite du terme général).

•

Utilisation des équivalents pour l'absolue convergence.

•

Développement asymptotique pour les séries semi-convergentes.

1. Domaine de définition.

Si $\alpha = \beta$ , on a $n^\alpha + (-1)^n n^\alpha = n^\alpha (1 + (-1)^n)$ .

Pour $n$ impair, le dénominateur s'annule : $u_n$ n'est pas définie.

On suppose donc désormais $\alpha \neq \beta$ . Dans ce cas, le terme prépondérant au dénominateur ne s'annule jamais pour $n$ assez grand.

\boxed{ \text{La suite } (u_n) \text{ est définie pour } n \gg 1 \iff \alpha \neq \beta }

2. Étude de la convergence.

Cas 1 : $\alpha < \beta$ .

Le terme prépondérant au dénominateur est $(-1)^n n^\beta$ . On a :

u_n = \frac{(-1)^n}{(-1)^n n^\beta (1 + (-1)^n n^{\alpha-\beta})} = \frac{1}{n^\beta (1 + (-1)^n n^{\alpha-\beta})}

Ainsi, on obtient l'équivalent :

u_n \sim \frac{1}{n^\beta}

Par comparaison avec une série de Riemann :

Si $\beta > 1$ , la série $\sum u_n$ converge absolument.
Si $\beta \leqslant 1$ , la série $\sum u_n$ diverge.

Cas 2 : $\alpha > \beta$ .

Le terme prépondérant est $n^\alpha$ . On a :

u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha \left(1 + \frac{(-1)^n}{n^{\alpha-\beta}}\right)}

Sous-cas 2.1 : $\alpha \leqslant 0$ .

Alors $n^\alpha$ ne tend pas vers $+\infty$ . Comme $\alpha > \beta$ , on a aussi $\beta < 0$ .

Alors $u_n$ ne tend pas vers $0$ , la série diverge grossièrement.

Sous-cas 2.2 : $\alpha > 0$ .

On peut effectuer un développement asymptotique :

u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \left( 1 - \frac{(-1)^n}{n^{\alpha-\beta}} + o\left(\frac{1}{n^{\alpha-\beta}}\right) \right)

Ce qui donne :

u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} - \frac{1}{n^{2\alpha-\beta}} + o\left(\frac{1}{n^{2\alpha-\beta}}\right)

Analyse des termes :

La série $\sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge par le critère spécial des séries alternées car $\alpha > 0$ .
La nature de $\sum u_n$ dépend donc du terme $\frac{1}{n^{2\alpha-\beta}}$ .

La série $\sum u_n$ converge si et seulement si $\sum \frac{1}{n^{2\alpha-\beta}}$ converge (le reste étant négligeable).

\boxed{ \text{Pour } \alpha > \beta \text{ et } \alpha > 0, \sum u_n \text{ converge } \iff 2\alpha - \beta > 1 }

Utiliser un équivalent pour une série dont le terme général change de signe.

La méthode de factorisation par le terme dominant pour les séries perturbées.