Convergence d'une série avec radical perturbé

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ . On considère la série de terme général :

u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{\alpha}+(-1)^{n}}}

À quelle condition sur $\alpha$ le terme $u_n$ est-il bien défini pour $n$ assez grand ?
Déterminer, suivant les valeurs de $\alpha$ , la nature de la série $\sum u_n$ .

1.

Vérifier d'abord la condition nécessaire de convergence ( $u_n \to 0$ ).

2.

Utiliser un développement asymptotique de $u_n$ en factorisant par $n^\alpha$ à l'intérieur de la racine.

3.

Pousser le développement jusqu'à obtenir un terme dont la série est absolument convergente ou dont la nature est connue.

Idées clés

•

Factorisation par le terme prépondérant.

•

Développement limité de $(1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + o(x^2)$ .

•

Critère Spécial des Séries Alternées (CSSA).

1. Existence.

Pour que $u_n$ soit défini pour $n$ grand, il faut que $n^\alpha + (-1)^n > 0$ .

Ceci est vrai dès que $n^\alpha \to +\infty$ (donc $\alpha > 0$ ) ou si $n^\alpha > 1$ pour $n$ grand.

Si $\alpha \leqslant 0$ , la suite $(n^\alpha)$ est bornée, et $n^\alpha + (-1)^n$ peut s'annuler ou être négatif pour une infinité d'indices (par exemple si $\alpha=0$ et $n$ impair).

De plus, si $\alpha \leqslant 0$ , $u_n$ ne tend pas vers $0$ , donc la série diverge grossièrement.

\boxed{ \text{On suppose désormais } \alpha > 0 }

2. Développement asymptotique.

Factorisons par $n^\alpha$ sous la racine :

u_n = \frac{(-1)^n}{n^{\alpha/2} \sqrt{1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha}}} = \frac{(-1)^n}{n^{\alpha/2}} \left( 1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \right)^{-1/2}

Utilisons le développement $(1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}x + O(x^2)$ quand $x \to 0$ :

u_n = \frac{(-1)^n}{n^{\alpha/2}} \left( 1 - \frac{(-1)^n}{2n^\alpha} + O\left(\frac{1}{n^{2\alpha}}\right) \right)

En distribuant le terme $(-1)^n / n^{\alpha/2}$ , on obtient :

u_n = \frac{(-1)^n}{n^{\alpha/2}} - \frac{1}{2n^{3\alpha/2}} + O\left(\frac{1}{n^{5\alpha/2}}\right)

3. Analyse de la convergence.

La série $\sum \frac{(-1)^n}{n^{\alpha/2}}$ est une série alternée qui converge par le CSSA car $\alpha/2 > 0$ et la suite est décroissante vers 0.
La série $\sum \frac{1}{2n^{3\alpha/2}}$ est une série de Riemann. Elle converge si et seulement si : $\frac{3\alpha}{2} > 1 \iff \alpha > \frac{2}{3}$
Le terme de reste $v_n = O\left(\frac{1}{n^{5\alpha/2}}\right)$ correspond à une série absolument convergente si : $\frac{5\alpha}{2} > 1 \iff \alpha > \frac{2}{5}$

Conclusion :

Si $\alpha > 2/3$ , alors $3\alpha/2 > 1$ et $5\alpha/2 > 1$ , tous les termes (sauf le premier qui est alterné convergent) définissent des séries absolument convergentes.

Si $0 < \alpha \leqslant 2/3$ , le terme $-\frac{1}{2n^{3\alpha/2}}$ est le terme général d'une série divergente vers $-\infty$ , tandis que les autres termes forment une série convergente.

\boxed{ \sum u_n \text{ converge } \iff \alpha > \frac{2}{3} }

Oublier de vérifier la divergence grossière pour les petites valeurs de l'exposant.

Pousser le DL jusqu'à obtenir un reste absolument convergent.