Réarrangement de la série harmonique alternée

On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par les relations suivantes pour tout $p \in \mathbb{N}$ :

u_{3p+1} = \frac{1}{4p+1},   u_{3p+2} = \frac{1}{4p+3},   u_{3p+3} = \frac{-1}{2p+2}

Montrer que la série $\sum u_n$ converge. On pourra introduire la suite $w_p = u_{3p+1} + u_{3p+2} + u_{3p+3}$ et justifier soigneusement le lien entre la convergence de $\sum u_n$ et celle de $\sum w_p$ .
On note $v_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ pour $n \geqslant 1$ . Justifier que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est obtenue par une permutation des termes de la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ .
Établir que pour tout $p \in \mathbb{N}^*$ : $\sum_{n=1}^{3p} u_n = \sum_{n=1}^{4p} \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \frac{1}{2} \sum_{k=p+1}^{2p} \frac{1}{k}$
En déduire la valeur de la somme $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ , sachant que $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ .

1.

Pour la question 1, remarquer que $u_n \to 0$ . La convergence d'une série dont le terme général tend vers 0 est équivalente à la convergence d'une série obtenue par groupement de termes en paquets de taille fixe.

2.

Pour la question 2, identifier séparément les termes d'indice pair et impair dans $(v_n)$ .

3.

Pour la question 3, exprimer $w_p$ en faisant apparaître des termes de la forme $\frac{1}{k}$ et utiliser un télescopage ou une récurrence.

4.

Pour la question 4, reconnaître une somme de Riemann pour la seconde partie de l'expression.

Idées clés

•

Sommation par paquets : si $u_n \to 0$ , la convergence de $\sum u_n$ équivaut à celle de $\sum (u_{kn+1} + \dots + u_{kn+k})$ .

•

Lien entre sommes partielles et intégrales (sommes de Riemann).

Résolution.

Soit $S_N = \sum_{n=1}^N u_n$ la somme partielle d'ordre $N$ . Notons $T_p = \sum_{k=0}^{p-1} w_k = S_{3p}$ la somme partielle de la série $\sum w_p$ . Comme $u_n \to 0$ quand $n \to +\infty$ , la série $\sum u_n$ converge si et seulement si la suite extraite $(S_{3p})_{p \in \mathbb{N}}$ converge. Calculons le terme général $w_p$ : $w_p = \frac{1}{4p+1} + \frac{1}{4p+3} - \frac{1}{2p+2}$ En mettant au même dénominateur, on obtient : $w_p = \frac{(4p+3)(2p+2) + (4p+1)(2p+2) - (4p+1)(4p+3)}{(4p+1)(4p+3)(2p+2)}$ $w_p = \frac{8p^2 + 14p + 6 + 8p^2 + 10p + 2 - (16p^2 + 16p + 3)}{(4p+1)(4p+3)(2p+2)} = \frac{8p + 5}{(4p+1)(4p+3)(2p+2)}$ On observe que $w_p \sim \frac{8p}{32p^3} = \frac{1}{4p^2}$ . Par comparaison avec une série de Riemann convergente, la série $\sum w_p$ converge. $\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ est convergente.}}$
Les termes de $(v_n)$ $(v_{n})$ sont de la forme $\frac{1}{2k+1}$ $\frac{1}{2 k + 1}$ (positifs) et $-\frac{1}{2k}$ $- \frac{1}{2 k}$ (négatifs). Dans la suite $(u_n)$ $(u_{n})$ :
- Les termes $u_{3p+1} = \frac{1}{4p+1}$ et $u_{3p+2} = \frac{1}{4p+3}$ parcourent tous les inverses d'entiers impairs positifs une seule fois.
- Le terme $u_{3p+3} = -\frac{1}{2(p+1)} = -\frac{1}{2k}$ parcourt tous les inverses d'entiers pairs négatifs une seule fois.
Ainsi, $(u_n)$ $(u_{n})$ est bien un réarrangement de $(v_n)$ $(v_{n})$ .
Calculons la différence $\Delta_p = \sum_{n=1}^{3p} u_n - \sum_{n=1}^{4p} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ . La somme $\sum_{n=1}^{4p} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ contient les inverses impairs jusqu'à $4p-1$ et les inverses pairs (négatifs) jusqu'à $4p$ . La somme $\sum_{n=1}^{3p} u_n$ contient les inverses impairs jusqu'à $4p-1$ et les inverses pairs (négatifs) jusqu'à $2p$ . Par différence, il reste les inverses pairs (négatifs) de $2p+2$ à $4p$ que l'on doit retirer de la seconde somme, et on doit compenser ceux déjà présents : $\sum_{n=1}^{3p} u_n - \sum_{n=1}^{4p} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \left( \sum_{k=1}^{2p} \frac{-1}{2k} \right) - \left( \sum_{k=1}^{2p} \frac{-1}{2k} + \sum_{k=2p+1}^{4p} \frac{-1}{2k} \right) = \sum_{k=p+1}^{2p} \frac{1}{2k}$ On obtient bien : $\boxed{\sum_{n=1}^{3p} u_n = \sum_{n=1}^{4p} \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \frac{1}{2} \sum_{k=p+1}^{2p} \frac{1}{k}}$
On sait que $\lim_{p \to +\infty} \sum_{n=1}^{4p} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ . Pour le second terme, on reconnaît une somme de Riemann : $\frac{1}{2} \sum_{k=p+1}^{2p} \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{p} \frac{1}{p+j} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \frac{1}{1 + \frac{j}{p}}$ Par convergence des sommes de Riemann vers l'intégrale : $\lim_{p \to +\infty} \frac{1}{2} \sum_{k=p+1}^{2p} \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \frac{1}{2} [\ln(1+x)]_0^1 = \frac{1}{2} \ln 2$ En sommant les deux limites : $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n = \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{3}{2} \ln 2$ $\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} u_n = \frac{3}{2} \ln 2}$

Ne pas intervertir l'ordre des termes d'une série semi-convergente sans précaution.

Équivalence de convergence par groupement de termes si le terme général tend vers 0.